$a, b$ を実数とする。3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1 + i$ を解にもつとき、$a$ と $b$ の値を求め、他の解を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とする。3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1 + i$ を解にもつとき、$a$ と $b$ の値を求め、他の解を求める。

2. 解き方の手順

$1 + i$ が解なので、$1 - i$ も解である。

なぜなら、$a,b$は実数なので、$x^3 + ax + b = 0$の解は複素共役になるからです。

したがって、$x^3 + ax + b = 0$ は $(x - (1 + i))(x - (1 - i)) = (x - 1 - i)(x - 1 + i) = (x - 1)^2 - (i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 2x + 2$ を因数に持つ。

そこで、残りの解を $\alpha$ とすると、$x^3 + ax + b = (x - \alpha)(x^2 - 2x + 2) = x^3 - 2x^2 + 2x - \alpha x^2 + 2\alpha x - 2\alpha = x^3 - (2 + \alpha)x^2 + (2 + 2\alpha)x - 2\alpha$ となる。

$x^3 + ax + b = x^3 - (2 + \alpha)x^2 + (2 + 2\alpha)x - 2\alpha$ を比較すると、$x^2$ の係数がないので、$2 + \alpha = 0$ より $\alpha = -2$。

よって、他の解は $-2$。

$a = 2 + 2\alpha = 2 + 2(-2) = 2 - 4 = -2$。

$b = -2\alpha = -2(-2) = 4$。

したがって、$a = -2, b = 4$。他の解は $-2$。

$1+i$ を $x^3 + ax + b = 0$ に代入して、$a$と$b$を求めても良い。

$(1+i)^3 + a(1+i) + b = 0$

$(1+i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

$(1+i)^3 = (1+i)(2i) = 2i - 2 = -2 + 2i$

したがって、$-2 + 2i + a + ai + b = 0$

実部と虚部に分けると、$-2 + a + b = 0$ かつ $2 + a = 0$

$a = -2$

$-2 + (-2) + b = 0$

$b = 4$

よって、$x^3 - 2x + 4 = 0$。

$x = -2$ を代入すると、$-8 + 4 + 4 = 0$。

したがって、$(x + 2)$ は $x^3 - 2x + 4$ の因数。

$x^3 - 2x + 4 = (x + 2)(x^2 - 2x + 2) = 0$。

よって、$x = -2, 1 + i, 1 - i$。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 4$

他の解は $x = -2$