(1) $x^2 - x - p$ を因数分解できるような $p$ の値を一つ見つけて、因数分解しなさい。例として、$p=2$ のとき、$x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$ となることが示されています。 (2) $x^2 + px - 36$ を $(x+a)(x+b)$ の形に因数分解したい。ただし、$p, a, b$ は整数です。そのような因数分解が全部で何通りできるか求めなさい。

1. 問題の内容

(1) $x^2 - x - p$ を因数分解できるような $p$ の値を一つ見つけて、因数分解しなさい。例として、$p=2$ のとき、$x^2-x-2 = (x+1)(x-2)$ となることが示されています。

(2) $x^2 + px - 36$ を $(x+a)(x+b)$ の形に因数分解したい。ただし、$p, a, b$ は整数です。そのような因数分解が全部で何通りできるか求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $p$ の値を適当に決めます。$p=6$とします。

$x^2 - x - 6$ を因数分解します。

2つの数をかけて $-6$、足して $-1$ になる組み合わせを探します。

それは $-3$ と $2$ です。

したがって、$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$となります。

(2) $x^2 + px - 36 = (x+a)(x+b)$ ということは、$ab = -36$ かつ $a+b = p$ を満たす整数 $a, b$ を探すことになります。$a$ と $b$ の組み合わせを考えます。

$ab = -36$ となる整数の組み合わせは以下の通りです。

(1, -36), (-1, 36), (2, -18), (-2, 18), (3, -12), (-3, 12), (4, -9), (-4, 9), (6, -6), (-6, 6), (9, -4), (-9, 4), (12, -3), (-12, 3), (18, -2), (-18, 2), (36, -1), (-36, 1).

これらの組み合わせに対して、$p = a+b$ を計算すると、

-35, 35, -16, 16, -9, 9, -5, 5, 0, 0, 5, -5, 9, -9, 16, -16, 35, -

3

5. 重複を削除すると、 $p$ の値は -35, -16, -9, -5, 0, 5, 9, 16, 35 となります。

$a$と$b$の組み合わせの数は18個なので、因数分解は18通りできます。

3. 最終的な答え

(1) $p$の値: 6 , 因数分解: $(x-3)(x+2)$

(2) 18通り