## 問題の解答

## 問題の解答

画像に写っている数学の問題を解きます。

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3. 次の式を因数分解せよ。

(1) $3a^2 + 10a + 3$

(2) $8x^2 - 51x + 18$

(3) $15x^2 + 2xy - 24y^2$

(4) $9x^2 - 30ax - 24a^2$

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4. 次の式を因数分解せよ。

(1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$

(2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$

(3) $x^4 - 3x^2 - 4$

(4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

## 解き方の手順

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3. 次の式を因数分解せよ。

(1) $3a^2 + 10a + 3$

1. たすき掛けを試みます。$3a^2$の係数3は$3 \times 1$、$3$は$3 \times 1$と分解できることを利用します。

2. $(3a + 1)(a + 3)$を展開すると$3a^2 + 9a + a + 3 = 3a^2 + 10a + 3$となり、元の式と一致することを確認します。

(2) $8x^2 - 51x + 18$

1. たすき掛けを試みます。$8x^2$の係数8は$8 \times 1$または$4 \times 2$、$18$は$6 \times 3$または$9 \times 2$または$18 \times 1$と分解できることを利用します。

2. $(8x - 3)(x - 6)$を展開すると$8x^2 - 48x - 3x + 18 = 8x^2 - 51x + 18$となり、元の式と一致することを確認します。

(3) $15x^2 + 2xy - 24y^2$

1. たすき掛けを試みます。$15x^2$の係数15は$5 \times 3$、$24y^2$は$6y \times 4y$と分解できることを利用します。

2. $(5x + 6y)(3x - 4y)$を展開すると$15x^2 - 20xy + 18xy - 24y^2 = 15x^2 - 2xy - 24y^2$となるので、符号を調整します。

$(5x - 6y)(3x + 4y)$を展開すると$15x^2 + 20xy - 18xy - 24y^2 = 15x^2 + 2xy - 24y^2$となり、元の式と一致することを確認します。

(4) $9x^2 - 30ax - 24a^2$

1. 共通因数3でくくります。

$3(3x^2 - 10ax - 8a^2)$

2. たすき掛けを試みます。$3x^2$の係数3は$3 \times 1$、$8a^2$は$4a \times 2a$と分解できることを利用します。

3. $3(3x + 2a)(x - 4a)$を展開すると$3(3x^2 -12ax + 2ax - 8a^2) = 3(3x^2 - 10ax - 8a^2)= 9x^2 - 30ax - 24a^2$となり、元の式と一致することを確認します。

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4. 次の式を因数分解せよ。

(1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$

1. 共通因数$2x$でくくります。

$2x(x^2 - 6xy + 9y^2)$

2. 括弧の中は$(x - 3y)^2$と因数分解できます。

$2x(x - 3y)^2$

(2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$

1. $4x^2 - 4xy + y^2$の部分を$(2x - y)^2$とまとめます。

$(2x - y)^2 - z^2$

2. これは$A^2 - B^2$の形なので、和と差の積に分解できます。

$(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3) $x^4 - 3x^2 - 4$

1. $x^2 = A$とおくと、$A^2 - 3A - 4$となります。

2. $(A - 4)(A + 1)$と因数分解できます。

3. $A$を$x^2$に戻すと$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$となります。

4. $x^2 - 4$は$(x - 2)(x + 2)$と因数分解できます。

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$

(4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

1. 和と差の積の公式$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$を利用します。

$((ac + bd) + (ad + bc))((ac + bd) - (ad + bc))$

2. 括弧の中を整理します。

$(ac + bd + ad + bc)(ac + bd - ad - bc)$

3. それぞれの括弧の中で共通因数でくくります。

$(a(c + d) + b(d + c))(a(c - d) + b(d - c))$

4. さらに整理します。

$(a(c + d) + b(c + d))(a(c - d) - b(c - d))$

$((a + b)(c + d))((a - b)(c - d))$

$(a + b)(c + d)(a - b)(c - d)$

$(a + b)(a - b)(c + d)(c - d)$

## 最終的な答え

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3. 次の式を因数分解せよ。

(1) $(3a + 1)(a + 3)$

(2) $(8x - 3)(x - 6)$

(3) $(5x - 6y)(3x + 4y)$

(4) $3(3x + 2a)(x - 4a)$

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4. 次の式を因数分解せよ。

(1) $2x(x - 3y)^2$

(2) $(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$

(4) $(a + b)(a - b)(c + d)(c - d)$