与えられた行列 $A$ について、以下のことを求めます。 (a) 第1行以外の行での余因子展開により行列式$|A|$を求める。 (b) 第1列以外の列での余因子展開により行列式$|A|$を求める。 行列 $A$ は $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ であり、行列式 $|A| = 20$ は既知とします。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ について、以下のことを求めます。

(a) 第1行以外の行での余因子展開により行列式$|A|$を求める。

(b) 第1列以外の列での余因子展開により行列式$|A|$を求める。

行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

であり、行列式 $|A| = 20$ は既知とします。

2. 解き方の手順

(a) 第2行での余因子展開:

行列式$|A|$は、第$i$行の要素$a_{ij}$とその余因子$A_{ij}$を用いて

$|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}$

と表されます。今回は第2行 ($i=2$) で展開します。

$|A| = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} + a_{24}A_{24}$

ここで、$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ であり、$M_{ij}$は$(i,j)$成分を取り除いた小行列式です。

$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 4 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -1(3(2-2) - 1(1+4) - 3(-2-8)) = -(0-5+30) = -25$

$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1(2-2) - 1(1+2) - 3(-2-4)) = 0-3+18 = 15$

$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = -1(1(1+4) - 3(1+2) - 3(4-2)) = -(5-9-6) = 10$

$A_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -2 \end{vmatrix} = 1(1(-2-8) - 3(-2-4) + 1(4-2)) = -10+18+2 = 10$

$|A| = 1(-25) + 3(15) + (-3)(10) + 3(10) = -25 + 45 - 30 + 30 = 20$

(b) 第2列での余因子展開:

同様に、第2列 ($j=2$) で展開します。

$|A| = a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32} + a_{42}A_{42}$

$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -1(1(2-2) + 3(1+2) + 3(-2-4)) = -(0+9-18) = 9$

$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1(2-2) - 1(1+2) - 3(-2-4)) = 0-3+18 = 15$

$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -1(1(-3+6) - 1(1-6) - 3(-2+6)) = -(3+5-12) = 4$

$A_{42} = (-1)^{4+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1(3-6) - 1(-1-3) - 3(2+3)) = -3+4-15 = -14$

$|A| = 3(9) + 3(15) + 1(4) + 4(-14) = 27 + 45 + 4 - 56 = 20$

3. 最終的な答え

(a) 第2行での余因子展開による行列式 $|A| = 20$

(b) 第2列での余因子展開による行列式 $|A| = 20$