与えられた連立一次方程式の係数行列と拡大係数行列の階数を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $x + 3y - 4z = -4$ $4x + 12y - z = 14$ $7x + 21y - 9z = 10$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の係数行列と拡大係数行列の階数を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$x + 3y - 4z = -4$

$4x + 12y - z = 14$

$7x + 21y - 9z = 10$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式の係数行列 $A$ と拡大係数行列 $A'$ を書き出します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ 4 & 12 & -1 \\ 7 & 21 & -9 \end{pmatrix}$

$A' = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 4 & 12 & -1 & 14 \\ 7 & 21 & -9 & 10 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列 $A'$ を行基本変形を用いて簡約化します。

まず、2行目から1行目の4倍を引き、3行目から1行目の7倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 15 & 30 \\ 0 & 0 & 19 & 38 \end{pmatrix}$

次に、2行目を15で割り、3行目を19で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

次に、1行目に2行目の4倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された拡大係数行列は$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$となります。

係数行列 $A$ の簡約化された形は$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$となります。

係数行列$A$の階数は2です。

拡大係数行列$A'$の階数は2です。

3. 最終的な答え

係数行列の階数：2

拡大係数行列の階数：2