2次方程式 $kx^2 + (k+3)x + 3 = 0$ が2つの異なる実数解を持つときの、$k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $kx^2 + (k+3)x + 3 = 0$ が2つの異なる実数解を持つときの、$k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が2つの異なる実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ であることである。ただし、$k=0$ の場合、与えられた方程式は1次方程式になるので、まず $k=0$ の場合を検討する。

* $k=0$ のとき、方程式は $(0+3)x + 3 = 0$ となり、$3x + 3 = 0$。これは $x = -1$ という一つの解を持つ。したがって、$k=0$ は条件を満たさない。

* $k \neq 0$ のとき、与えられた方程式は2次方程式である。判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられる。この問題では、$a = k$, $b = k+3$, $c = 3$ であるから、

$D = (k+3)^2 - 4(k)(3) = k^2 + 6k + 9 - 12k = k^2 - 6k + 9 = (k-3)^2$

2つの異なる実数解を持つためには、$D > 0$ でなければならない。つまり、$(k-3)^2 > 0$。これは、$k \neq 3$ を意味する。

さらに、$k\neq0$ という条件も考慮する必要がある。

3. 最終的な答え

したがって、$k$ の範囲は $k<3$ かつ $3<k$ かつ $k\neq0$ である。

$k < 0$ または $0 < k < 3$ または $k > 3$。

言い換えると、$k \neq 0$ かつ $k \neq 3$。