与えられた数式を計算する問題です。 (1) $(3x^2 - 2x - 4) + 2(x^3 - x + 2) - 3(x^2 - x + 4)$ (2) $(x+y)^2 + (x-y)^2$ (3) $(x+y)^2 - (x-y)^2$ (4) $(5a+8b)(2a-7b)$ (5) $(2x^2-y)^2$ (6) $(3a+b-2c)^2$ (7) $(x^2 - 2x - 1)(x^2 - 2x - 2)$ (8) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (9) $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算する問題です。

(1) $(3x^2 - 2x - 4) + 2(x^3 - x + 2) - 3(x^2 - x + 4)$

(2) $(x+y)^2 + (x-y)^2$

(3) $(x+y)^2 - (x-y)^2$

(4) $(5a+8b)(2a-7b)$

(5) $(2x^2-y)^2$

(6) $(3a+b-2c)^2$

(7) $(x^2 - 2x - 1)(x^2 - 2x - 2)$

(8) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$

(9) $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$

2. 解き方の手順

(1) 展開して整理します。

$3x^2 - 2x - 4 + 2x^3 - 2x + 4 - 3x^2 + 3x - 12 = 2x^3 - x - 12$

(2) 展開して整理します。

$(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2$

(3) 展開して整理します。

$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy$

(4) 展開します。

$(5a+8b)(2a-7b) = 10a^2 - 35ab + 16ab - 56b^2 = 10a^2 - 19ab - 56b^2$

(5) 展開します。

$(2x^2 - y)^2 = (2x^2)^2 - 2(2x^2)(y) + y^2 = 4x^4 - 4x^2y + y^2$

(6) 展開します。

$(3a + b - 2c)^2 = (3a+b-2c)(3a+b-2c) = 9a^2 + b^2 + 4c^2 + 6ab - 12ac - 4bc$

(7) $A = x^2 - 2x$とおくと、

$(x^2 - 2x - 1)(x^2 - 2x - 2) = (A - 1)(A - 2) = A^2 - 3A + 2 = (x^2 - 2x)^2 - 3(x^2 - 2x) + 2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 3x^2 + 6x + 2 = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + 2$

(8) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4$

(9) $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1) = (x^4+1)(x^2+1)(x^2-1) = (x^4+1)(x^4-1) = x^8 - 1$

3. 最終的な答え

(1) $2x^3 - x - 12$

(2) $2x^2 + 2y^2$

(3) $4xy$

(4) $10a^2 - 19ab - 56b^2$

(5) $4x^4 - 4x^2y + y^2$

(6) $9a^2 + b^2 + 4c^2 + 6ab - 12ac - 4bc$

(7) $x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + 2$

(8) $a^4 - b^4$

(9) $x^8 - 1$