数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 5$、$a_{n+1} - a_n = 3n^2 + 9n + 13$ (for $n = 1, 2, ...$) を満たす。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $a_{n+1} - 2a_n$ を $n$ を用いて表わせ。 (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{2^k}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 5$、$a_{n+1} - a_n = 3n^2 + 9n + 13$ (for $n = 1, 2, ...$) を満たす。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $a_{n+1} - 2a_n$ を $n$ を用いて表わせ。

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{2^k}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

$a_{n+1} - a_n = 3n^2 + 9n + 13$ より、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + 9k + 13)$

$a_n = 5 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 9\sum_{k=1}^{n-1} k + 13\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 5 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 9 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 13(n-1)$

$a_n = 5 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + \frac{9(n-1)n}{2} + 13(n-1)$

$a_n = 5 + \frac{n-1}{2} [n(2n-1) + 9n + 26]$

$a_n = 5 + \frac{n-1}{2} [2n^2 - n + 9n + 26]$

$a_n = 5 + \frac{n-1}{2} [2n^2 + 8n + 26]$

$a_n = 5 + (n-1)(n^2 + 4n + 13)$

$a_n = 5 + n^3 + 4n^2 + 13n - n^2 - 4n - 13$

$a_n = n^3 + 3n^2 + 9n - 8$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1 + 3 + 9 - 8 = 5$ なので、$a_n = n^3 + 3n^2 + 9n - 8$ は $n=1$ でも成り立つ。

(2) $a_{n+1} - 2a_n$ を求める。

$a_{n+1} = (n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 9(n+1) - 8 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 3(n^2 + 2n + 1) + 9n + 9 - 8$

$a_{n+1} = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 3n^2 + 6n + 3 + 9n + 9 - 8 = n^3 + 6n^2 + 18n + 5$

$2a_n = 2(n^3 + 3n^2 + 9n - 8) = 2n^3 + 6n^2 + 18n - 16$

$a_{n+1} - 2a_n = n^3 + 6n^2 + 18n + 5 - (2n^3 + 6n^2 + 18n - 16) = -n^3 + 21$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{2^k}$ を求める。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{2^k} = \frac{1^3}{2^1} + \frac{2^3}{2^2} + \frac{3^3}{2^3} + \dots + \frac{n^3}{2^n}$

$\frac{1}{2}S = \frac{1^3}{2^2} + \frac{2^3}{2^3} + \frac{3^3}{2^4} + \dots + \frac{n^3}{2^{n+1}}$

$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2}S = \frac{1^3}{2^1} + \frac{2^3-1^3}{2^2} + \frac{3^3-2^3}{2^3} + \dots + \frac{n^3 - (n-1)^3}{2^n} - \frac{n^3}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}S = \sum_{k=1}^n \frac{k^3 - (k-1)^3}{2^k} - \frac{n^3}{2^{n+1}}$

$k^3 - (k-1)^3 = k^3 - (k^3 - 3k^2 + 3k - 1) = 3k^2 - 3k + 1$

$\frac{1}{2}S = \sum_{k=1}^n \frac{3k^2 - 3k + 1}{2^k} - \frac{n^3}{2^{n+1}}$

$S = 2\sum_{k=1}^n \frac{3k^2 - 3k + 1}{2^k} - \frac{n^3}{2^n}$

$\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{2^k} = A_n$ とすると、

$\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} = B_n$ とすると、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^n}$

$A_n = 6 - \frac{2n^2 + 4n + 6}{2^n}$

$B_n = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

$\sum_{k=1}^n \frac{3k^2 - 3k + 1}{2^k} = 3A_n - 3B_n + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 3 (6 - \frac{2n^2 + 4n + 6}{2^n}) - 3 (2 - \frac{n+2}{2^n}) + (1 - \frac{1}{2^n})$

$= 18 - \frac{6n^2+12n+18}{2^n} - 6 + \frac{3n+6}{2^n} + 1 - \frac{1}{2^n} = 13 - \frac{6n^2 + 9n + 13}{2^n}$

$S = 2 (13 - \frac{6n^2 + 9n + 13}{2^n}) - \frac{n^3}{2^n} = 26 - \frac{12n^2 + 18n + 26}{2^n} - \frac{n^3}{2^n}$

$S = 26 - \frac{n^3 + 12n^2 + 18n + 26}{2^n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^3 + 3n^2 + 9n - 8$

(2) $a_{n+1} - 2a_n = -n^3 + 21$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k^3}{2^k} = 26 - \frac{n^3 + 12n^2 + 18n + 26}{2^n}$