2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が 8 であるとき、$a$ の値を求め、このときの $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数 $t$ に対して、$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。このとき、$M$ を $t$ を用いて表し、また、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ただし、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が 8 であるとき、$a$ の値を求め、このときの $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数 $t$ に対して、$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。このとき、$M$ を $t$ を用いて表し、また、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a$

よって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ となります。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値を考えます。

軸は $x = 2$ であり、区間 $0 \le x \le 3$ に含まれます。したがって、$x = 2$ で最小値をとります。

最小値は $f(2) = a^2 - a - 4 = 8$

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a = 4, -3$

$a$ は正の定数なので、$a = 4$ となります。

このとき、$f(x) = x^2 - 4x + 16 - 4 = x^2 - 4x + 12$

最大値を求めます。$f(0) = 12$、$f(3) = 9 - 12 + 12 = 9$。

よって、最大値は 12 です。

(3) $a = 4$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 12 = (x - 2)^2 + 8$

区間 $t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求めます。

軸は $x = 2$ です。$t > \frac{1}{2}$ より、$t+3 > \frac{7}{2}$。

場合分けをします。

(i) $t \le 2 \le t+3$ のとき、つまり $-1 \le t \le 2$ のとき、$m = f(2) = 8$。

(ii) $2 < t$ のとき、$f(x)$ は単調増加なので、$m = f(t) = t^2 - 4t + 12$。

(iii) $t+3 < 2$ のとき、つまり $t < -1$ のとき、$f(x)$ は単調減少なので、$m = f(t+3) = (t+3)^2 - 4(t+3) + 12 = t^2 + 2t + 9$。

$M$ を求めます。

(i) $t \le 2 \le t+3$ のとき、つまり $-1 \le t \le 2$ のとき、$M$ は $f(t)$ か $f(t+3)$ のどちらか大きい方。

$f(t) = t^2 - 4t + 12$、$f(t+3) = (t+3)^2 - 4(t+3) + 12 = t^2 + 2t + 9$。

$f(t) - f(t+3) = -6t + 3$

$-6t + 3 = 0$ とすると、$t = \frac{1}{2}$。

$t \ge \frac{1}{2}$ のとき、$f(t+3) \ge f(t)$ なので、$M = f(t+3) = t^2 + 2t + 9$

$-1 \le t < \frac{1}{2}$ のとき、$f(t) \ge f(t+3)$ なので、$M = f(t) = t^2 - 4t + 12$

(ii) $2 < t$ のとき、$M = f(t+3) = t^2 + 2t + 9$

$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。ただし、$t > \frac{1}{2}$ です。

$t \le 2$ のとき、$m = 8$、$M = t^2 + 2t + 9$ より、$t^2 + 2t + 9 - 8 = 3$

$t^2 + 2t - 2 = 0$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$t > \frac{1}{2}$ なので、$t = -1 + \sqrt{3} \approx 0.732$。これは $t \le 2$ を満たします。

$2 < t$ のとき、$m = t^2 - 4t + 12$、$M = t^2 + 2t + 9$ より、$t^2 + 2t + 9 - (t^2 - 4t + 12) = 3$

$6t - 3 = 3$

$6t = 6$

$t = 1$。これは $2 < t$ を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$、最大値: 12

(3) $t > \frac{1}{2}$ のとき、$M = t^2 + 2t + 9$

$M - m = 3$ となる $t$ の値: $t = -1 + \sqrt{3}$