次の等式が成り立つような正方行列 $X$ を求めます。 $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

次の等式が成り立つような正方行列 $X$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた等式を $AX = B$ とします。ここで、

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 3 & 5 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在する場合、$X = A^{-1}B$ となります。まず、$A^{-1}$ を計算します。

$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(-2\cdot5 - 1\cdot3) - (-3)(1\cdot5 - 1\cdot(-3)) + 3(1\cdot3 - (-2)\cdot(-3)) = 1(-10 - 3) + 3(5 + 3) + 3(3 - 6) = -13 + 24 - 9 = 2$

$A$ の余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = -2\cdot5 - 1\cdot3 = -13$

$C_{12} = -(1\cdot5 - 1\cdot(-3)) = -8$

$C_{13} = 1\cdot3 - (-2)\cdot(-3) = 3 - 6 = -3$

$C_{21} = -(-3\cdot5 - 3\cdot3) = 15 + 9 = 24$

$C_{22} = 1\cdot5 - 3\cdot(-3) = 5 + 9 = 14$

$C_{23} = -(1\cdot3 - (-3)\cdot(-3)) = -(3 - 9) = 6$

$C_{31} = -3\cdot1 - 3\cdot(-2) = -3 + 6 = 3$

$C_{32} = -(1\cdot1 - 3\cdot1) = -(1 - 3) = 2$

$C_{33} = 1\cdot(-2) - (-3)\cdot1 = -2 + 3 = 1$

$C = \begin{pmatrix} -13 & -8 & -3 \\ 24 & 14 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1}B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -13 & 24 & 3 \\ -8 & 14 & 2 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -104 + 96 + 24 & -91 + 144 + 21 & -52 + 72 + 12 \\ -64 + 56 + 16 & -56 + 84 + 14 & -32 + 42 + 8 \\ -24 + 24 + 8 & -21 + 36 + 7 & -12 + 18 + 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 16 & 74 & 32 \\ 8 & 42 & 18 \\ 8 & 22 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 8 & 37 & 16 \\ 4 & 21 & 9 \\ 4 & 11 & 5 \end{pmatrix}$