奇数列をある規則に従って群に分けた数列（群数列）について、以下の2つの問題を解きます。 (1) 第$n$群の最初の項を求める。 (2) 第$n$群に属する数の和を求める。

1. 問題の内容

奇数列をある規則に従って群に分けた数列（群数列）について、以下の2つの問題を解きます。

(1) 第$n$群の最初の項を求める。

(2) 第$n$群に属する数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の項を求める。

まず、各群に含まれる奇数の個数に着目します。第1群には1個、第2群には2個、第3群には3個というように、第$n$群には$n$個の奇数が含まれます。

したがって、第$n$群の最初の項は、奇数列全体の第何項目になるかを考えます。

第$n$群の最初の項は、第1群から第$(n-1)$群までの奇数の個数の合計に1を加えた項目になります。

第1群から第$(n-1)$群までの奇数の個数の合計は、

$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

となります。

したがって、第$n$群の最初の項は、奇数列全体の第$\frac{(n-1)n}{2} + 1$項目になります。

奇数列の第$k$項目は、$2k - 1$で表されます。したがって、第$n$群の最初の項は、

$2 \left( \frac{(n-1)n}{2} + 1 \right) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

となります。

(2) 第$n$群に属する数の和を求める。

第$n$群には$n$個の奇数が含まれます。第$n$群の最初の項は$n^2 - n + 1$であり、奇数列なので、公差は2です。

したがって、第$n$群の奇数列は、初項$n^2 - n + 1$, 公差2, 項数$n$の等差数列となります。

等差数列の和の公式は、

$S = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

ここで、$S$は等差数列の和、$n$は項数、$a$は初項、$d$は公差です。

第$n$群の和は、

$S = \frac{n}{2} (2(n^2 - n + 1) + (n-1)2) = \frac{n}{2} (2n^2 - 2n + 2 + 2n - 2) = \frac{n}{2} (2n^2) = n^3$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の項: $n^2 - n + 1$

(2) 第$n$群に属する数の和: $n^3$