以下の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$ (2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$ (3) $x^4 - 3x^2 - 4$ (4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

はい、承知いたしました。それでは、問題の因数分解を解いていきましょう。

1. 問題の内容

以下の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$

(2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$

(3) $x^4 - 3x^2 - 4$

(4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

2. 解き方の手順

(1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$

まず、すべての項に共通する因数 $2x$ をくくり出します。

$2x(x^2 - 6xy + 9y^2)$

括弧の中は完全平方の形になっているので、さらに因数分解できます。

$2x(x - 3y)^2$

(2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$

$4x^2 - 4xy + y^2 - z^2$と並び替えます。

$(2x - y)^2 - z^2$

これは平方の差の形になっているので、因数分解できます。

$(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3) $x^4 - 3x^2 - 4$

$x^2 = X$ と置換します。

$X^2 - 3X - 4$

$(X - 4)(X + 1)$

$X$ を元に戻します。

$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$

$(x^2 - 4)$ はさらに因数分解できます。

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$

(4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

平方の差の形になっているので、因数分解できます。

$[(ac + bd) + (ad + bc)][(ac + bd) - (ad + bc)]$

$[ac + bd + ad + bc][ac + bd - ad - bc]$

各括弧内で共通因数でくくります。

$[a(c + d) + b(c + d)][a(c - d) + b(d - c)]$

$[(a + b)(c + d)][a(c - d) - b(c - d)]$

$(a + b)(c + d)(a - b)(c - d)$

$(a + b)(a - b)(c + d)(c - d)$

3. 最終的な答え

(1) $2x(x - 3y)^2$

(2) $(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$

(4) $(a + b)(a - b)(c + d)(c - d)$