次の6つの式を因数分解しなさい。 (1) $4a^2x - 9x$ (2) $2a^2b - 8ab + 8b$ (3) $(x-3)(x+2) - 6$ (4) $a(x+y) + 2(x+y)$ (5) $(x-2)^2 + 6(x-2) + 5$ (6) $5x(x-2) - (2x+3)(2x-3)$

1. 問題の内容

次の6つの式を因数分解しなさい。

(1) $4a^2x - 9x$

(2) $2a^2b - 8ab + 8b$

(3) $(x-3)(x+2) - 6$

(4) $a(x+y) + 2(x+y)$

(5) $(x-2)^2 + 6(x-2) + 5$

(6) $5x(x-2) - (2x+3)(2x-3)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$を共通因数としてくくり出す。

$4a^2x - 9x = x(4a^2 - 9)$

次に、$4a^2 - 9$を因数分解する。これは、$2a$と$3$の二乗の差なので、$(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)$の公式を使う。

$4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2 = (2a + 3)(2a - 3)$

したがって、

$4a^2x - 9x = x(2a+3)(2a-3)$

(2)

まず、$2a^2b - 8ab + 8b$のすべての項に$2b$が含まれているので、それをくくり出す。

$2a^2b - 8ab + 8b = 2b(a^2 - 4a + 4)$

次に、$a^2 - 4a + 4$を因数分解する。これは、$(a-2)^2$に等しい。

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

したがって、

$2a^2b - 8ab + 8b = 2b(a-2)^2$

(3)

まず、$(x-3)(x+2)$を展開する。

$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$

元の式は$(x-3)(x+2) - 6$なので、

$(x-3)(x+2) - 6 = x^2 - x - 6 - 6 = x^2 - x - 12$

次に、$x^2 - x - 12$を因数分解する。掛け算して$-12$、足し算して$-1$になる2つの数を見つける。それは$-4$と$3$である。

したがって、

$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$

$(x-3)(x+2)-6 = (x-4)(x+3)$

(4)

式は$a(x+y) + 2(x+y)$である。

$(x+y)$が共通因数なので、それをくくり出す。

$a(x+y) + 2(x+y) = (x+y)(a+2)$

(5)

式は$(x-2)^2 + 6(x-2) + 5$である。

$x-2$を$A$とおくと、$A^2 + 6A + 5$となる。

これは因数分解できて、$(A+1)(A+5)$である。

$A$を$x-2$に戻すと、

$(x-2+1)(x-2+5) = (x-1)(x+3)$

したがって、$(x-2)^2 + 6(x-2) + 5 = (x-1)(x+3)$

(6)

式は$5x(x-2) - (2x+3)(2x-3)$である。

まず、$5x(x-2)$と$(2x+3)(2x-3)$を展開する。

$5x(x-2) = 5x^2 - 10x$

$(2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 9$

したがって、

$5x(x-2) - (2x+3)(2x-3) = 5x^2 - 10x - (4x^2 - 9) = 5x^2 - 10x - 4x^2 + 9 = x^2 - 10x + 9$

$x^2 - 10x + 9$を因数分解する。掛け算して$9$、足し算して$-10$になる2つの数を見つける。それは$-1$と$-9$である。

したがって、$x^2 - 10x + 9 = (x-1)(x-9)$

$5x(x-2) - (2x+3)(2x-3) = (x-1)(x-9)$

3. 最終的な答え

(1) $x(2a+3)(2a-3)$

(2) $2b(a-2)^2$

(3) $(x-4)(x+3)$

(4) $(x+y)(a+2)$

(5) $(x-1)(x+3)$

(6) $(x-1)(x-9)$