直角三角形ABCがあり、AB = 12cm, BC = 10cmとする。点Pは辺AB上を毎秒1cmでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒1cmでCからBへ動く。PとQが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/5になるのは何秒後か。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = 12cm, BC = 10cmとする。点Pは辺AB上を毎秒1cmでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒1cmでCからBへ動く。PとQが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/5になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積を求める。

$\text{三角形ABCの面積} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60$

次に、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/5になるときの面積を求める。

$\text{三角形PBQの面積} = \frac{1}{5} \times 60 = 12$

t秒後のAPの長さはt cm、CQの長さはt cmである。

したがって、PBの長さは$12 - t$ cm、BQの長さは$10 - t$ cmである。

三角形PBQの面積は

$\text{三角形PBQの面積} = \frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times (12 - t) \times (10 - t)$

これが12になるとき、

$\frac{1}{2} (12 - t)(10 - t) = 12$

$(12 - t)(10 - t) = 24$

$120 - 12t - 10t + t^2 = 24$

$t^2 - 22t + 96 = 0$

$(t - 6)(t - 16) = 0$

$t = 6, 16$

$t$は0から10の範囲なので、$t=6$のみが答えになる。

3. 最終的な答え

6秒後