それぞれの三角形ABCにおいて、以下のものを求めます。 (1) $AC = 6$, $A = 75^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$AB$の値を求めます。 (2) $BC = 3$, $A = 120^\circ$ のとき、三角形ABCの外接円Oの半径Rの値を求めます。 (3) $AB = 7$, $AC = 4\sqrt{2}$, $A = 45^\circ$ のとき、$BC$の値を求めます。 (4) $AB = 2\sqrt{3}$, $AC = 5$, $A = 60^\circ$ のとき、三角形ABCの面積Sを求めます。

1. 問題の内容

それぞれの三角形ABCにおいて、以下のものを求めます。

(1) $AC = 6$, $A = 75^\circ$, $B = 60^\circ$ のとき、$AB$の値を求めます。

(2) $BC = 3$, $A = 120^\circ$ のとき、三角形ABCの外接円Oの半径Rの値を求めます。

(3) $AB = 7$, $AC = 4\sqrt{2}$, $A = 45^\circ$ のとき、$BC$の値を求めます。

(4) $AB = 2\sqrt{3}$, $AC = 5$, $A = 60^\circ$ のとき、三角形ABCの面積Sを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を用いて、$AB$を求めます。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$

$AB = \frac{6 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$

(2) 正弦定理を用いて、$R$を求めます。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$2R = \frac{3}{\sin 120^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

$R = \sqrt{3}$

(3) 余弦定理を用いて、$BC$を求めます。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ$

$BC^2 = 49 + 32 - 56\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 81 - 56 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$

(4) 三角形の面積の公式を用いて、$S$を求めます。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $AB = 2\sqrt{6}$

(2) $R = \sqrt{3}$

(3) $BC = 5$

(4) $S = \frac{15}{2}$