直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。 (1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。 (2) 点 $P$ を通り $l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求める。 (3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ が与えられている。

(1) 直線 $l$ の法線ベクトルを1つ求める。

(2) 点 $P$ を通り $l$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求める。

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ の法線ベクトルを求める。直線の式から、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ である。係数に着目すると、$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ は $l$ の方向ベクトルに垂直である。

(2) 点 $P(2, -1)$ を通り、直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ に直交する直線 $l_1$ の媒介変数表示を求める。$l$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ であり、これは $l_1$ の方向ベクトルになる。したがって、$l_1$ の媒介変数表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

と表せる。よって、

$x = 2 + t$

$y = -1 - 2t$

(3) 直線 $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。$l: x - 2y + 1 = 0$ であり、$l_1: x = 2 + t, y = -1 - 2t$ である。$l$ の式に $l_1$ の式を代入すると、

$(2 + t) - 2(-1 - 2t) + 1 = 0$

$2 + t + 2 + 4t + 1 = 0$

$5t + 5 = 0$

$t = -1$

$t = -1$ を $l_1$ の式に代入すると、

$x = 2 + (-1) = 1$

$y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

したがって、交点の座標は $(1, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) $x = 2 + t, y = -1 - 2t$

(3) $(1, 1)$