(1) 直角三角形ABCにおいて、角度$\theta$の正弦($\sin \theta$)、余弦($\cos \theta$)、正接($\tan \theta$)の値を求める。 (2) $\theta$が鋭角で$\sin \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で、以下の等式を満たす$\theta$を求める。 (1) $\sin \theta = 1$ (2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

1. 問題の内容

(1) 直角三角形ABCにおいて、角度$\theta$の正弦($\sin \theta$)、余弦($\cos \theta$)、正接($\tan \theta$)の値を求める。

(2) $\theta$が鋭角で$\sin \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で、以下の等式を満たす$\theta$を求める。

(1) $\sin \theta = 1$

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1)

直角三角形ABCにおいて、

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3)

(1) $\sin \theta = 1$ となるのは、$\theta = 90^\circ$

(2) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = 30^\circ$

(3) $\tan \theta = -\sqrt{3}$ となるのは、$\theta = 120^\circ$ (第2象限)

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2)

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3)

(1) $\theta = 90^\circ$

(2) $\theta = 30^\circ$

(3) $\theta = 120^\circ$