与えられた直交座標 $(x, y)$ を持つ点に対して、極座標 $(r, \theta)$ を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。以下の3つの点について極座標を求めます。 (1) $(\sqrt{3}, 1)$ (2) $(-1, -1)$ (3) $(-1, 3)$

1. 問題の内容

与えられた直交座標 $(x, y)$ を持つ点に対して、極座標 $(r, \theta)$ を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。以下の3つの点について極座標を求めます。

(1) $(\sqrt{3}, 1)$

(2) $(-1, -1)$

(3) $(-1, 3)$

2. 解き方の手順

直交座標 $(x, y)$ から極座標 $(r, \theta)$ への変換は、以下の式で行います。

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$

ただし、$\arctan$ 関数は第一象限の値しか返さないため、点の位置に応じて $\theta$ の値を調整する必要があります。

(1) $(\sqrt{3}, 1)$ の場合：

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\theta = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$ (第一象限)

(2) $(-1, -1)$ の場合：

$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$\theta = \arctan(\frac{-1}{-1}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

しかし、点 $(-1, -1)$ は第三象限にあるため、$\theta = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$

(3) $(-1, 3)$ の場合：

$r = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$\theta = \arctan(\frac{3}{-1}) = \arctan(-3)$

$\theta$ は第二象限にあるので、$\theta = \arctan(-3) + \pi$。

3. 最終的な答え

(1) $(2, \frac{\pi}{6})$

(2) $(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})$

(3) $(\sqrt{10}, \arctan(-3) + \pi)$