平行四辺形ABCDにおいて、次の等式が成り立つことを証明する問題です。 $|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、次の等式が成り立つことを証明する問題です。

$|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて証明します。

まず、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$ とおきます。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}$

したがって、

$|AC|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}|^2 = (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) = |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} + |\overrightarrow{d}|^2$

$|BD|^2 = |\overrightarrow{BD}|^2 = |\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}) = |\overrightarrow{d}|^2 - 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} + |\overrightarrow{b}|^2$

$|AC|^2 + |BD|^2 = (|\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} + |\overrightarrow{d}|^2) + (|\overrightarrow{d}|^2 - 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} + |\overrightarrow{b}|^2) = 2|\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{d}|^2 = 2(|\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{d}|^2)$

$|AB|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{b}|^2$

$|AD|^2 = |\overrightarrow{AD}|^2 = |\overrightarrow{d}|^2$

$2(|AB|^2 + |AD|^2) = 2(|\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{d}|^2)$

よって、$|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$|AC|^2 + |BD|^2 = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$