与えられた4つの極限を計算し、与えられた関数$f(x)$が$x=0$で連続かどうかを調べる。

1. 問題の内容

与えられた4つの極限を計算し、与えられた関数$f(x)$が$x=0$で連続かどうかを調べる。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \tan^{-1} \frac{1}{x}$

$x \to 0^+$ のとき $\frac{1}{x} \to +\infty$ なので、 $\tan^{-1} \frac{1}{x} \to \frac{\pi}{2}$

$x \to 0^-$ のとき $\frac{1}{x} \to -\infty$ なので、 $\tan^{-1} \frac{1}{x} \to -\frac{\pi}{2}$

右からの極限と左からの極限が一致しないため、この極限は存在しない。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 3x^5}{4x^2 - x^3}$

分子と分母を$x^2$で割ると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 + 3x^3}{4 - x} = \frac{1 + 3(0)^3}{4 - 0} = \frac{1}{4}$$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x}$

$\frac{x}{x} - \frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{\sin x}{x}$ であり、$-1 \le \sin x \le 1$ であるから、$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x - \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{\sin x}{x}) = 1 - 0 = 1$$

(5) $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうか

$f(0) = 0$ である。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ を考える。

$x \to 0^+$ のとき $\frac{1}{x} \to +\infty$

$x \to 0^-$ のとき $\frac{1}{x} \to -\infty$

$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しない。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で不連続である。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $1$

(4) $1$

(5) $f(x)$ は $x=0$ で不連続