与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を使用します。2行目に0が2つ含まれているので、2行目で展開すると計算が楽になります。

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{22} + 2 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{24} = 3 C_{22} + 2 C_{23}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)成分に関する余因子です。したがって、

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix}$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

まず、$C_{22}$を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 3(-3+4) - (3-8) + (-2+4) = 3(1) - (-5) + 2 = 3+5+2 = 10$

次に、$C_{23}$を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 3(3-2) + (3-8) + (1-4) = 3(1) + (-5) + (-3) = 3-5-3 = -5$

したがって、$3 C_{22} + 2 C_{23} = 3(10) + 2(-(-5)) = 30 + 2(5) = 30 + 10 = 40$

3. 最終的な答え

40