ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、更に$x$軸に関して対称移動したら、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、更に$x$軸に関して対称移動したら、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を $x$軸に関して対称移動させる。$x$軸対称移動は、$y$ を $-y$ に置き換えることで行われるので、

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

次に、$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動する前の状態に戻すために、$x$軸方向に$+1$、$y$軸方向に$+3$だけ平行移動させる。平行移動は、$x$ を $x-1$、$y$ を $y-3$ に置き換えることで行われる。

$y-3 = -(x-1)^2 + 2(x-1) - 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 - 2 + 3$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 2x - 4 + 3$

$y = -x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$