数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ があり、それぞれの一般項は $a_n = 3n - 1$、$b_n = 2^n$ で与えられている。数列 $\{b_n\}$ の項のうち、数列 $\{a_n\}$ の項でもあるものを小さい方から並べて数列 $\{c_n\}$ を作るとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ があり、それぞれの一般項は $a_n = 3n - 1$、$b_n = 2^n$ で与えられている。数列 $\{b_n\}$ の項のうち、数列 $\{a_n\}$ の項でもあるものを小さい方から並べて数列 $\{c_n\}$ を作るとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a_n = b_m$ となるような $n$ と $m$ を求める。つまり、

$3n - 1 = 2^m$

となる $n$ と $m$ を探す。この式を変形すると、

$3n = 2^m + 1$

$n = \frac{2^m + 1}{3}$

$n$ が整数となるためには、$2^m + 1$ が 3 の倍数である必要がある。

$m = 1$ のとき、$2^1 + 1 = 3$ なので、$n = \frac{3}{3} = 1$ となり、$a_1 = 3(1) - 1 = 2$、$b_1 = 2^1 = 2$。

$m = 2$ のとき、$2^2 + 1 = 5$。

$m = 3$ のとき、$2^3 + 1 = 9$ なので、$n = \frac{9}{3} = 3$ となり、$a_3 = 3(3) - 1 = 8$、$b_3 = 2^3 = 8$。

$m = 4$ のとき、$2^4 + 1 = 17$。

$m = 5$ のとき、$2^5 + 1 = 33$ なので、$n = \frac{33}{3} = 11$ となり、$a_{11} = 3(11) - 1 = 32$、$b_5 = 2^5 = 32$。

$m$ の値が奇数のとき、$2^m + 1$ が 3 の倍数になることが予想される。

$m = 2k-1$（$k$ は自然数）とおくと、

$2^{2k-1} + 1 = 2^{2k-1} + 1^{2k-1} = (2+1)(2^{2k-2} - 2^{2k-3} + \dots + 1) = 3(2^{2k-2} - 2^{2k-3} + \dots + 1)$

となり、3 の倍数であることが示された。

したがって、$m = 2k - 1$ とおくと、$n = \frac{2^{2k-1} + 1}{3}$ となる。

このとき、$c_k = a_n = 3n - 1 = 3 \cdot \frac{2^{2k-1} + 1}{3} - 1 = 2^{2k-1} + 1 - 1 = 2^{2k-1}$

したがって、数列 $\{c_n\}$ の一般項は $c_n = 2^{2n-1}$ となる。

3. 最終的な答え

$c_n = 2^{2n-1}$