数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3a_n + 2$ で表されるとき、$a_n$ を表す式を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 3a_n + 2$ で表されるとき、$a_n$ を表す式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のときを考えます。$S_1 = a_1$ であるから、$a_1 = 3a_1 + 2$ となります。これを解くと、

$a_1 = 3a_1 + 2$

$-2a_1 = 2$

$a_1 = -1$

次に、$n \geq 2$ のときを考えます。$S_n = 3a_n + 2$ であり、$S_{n-1} = 3a_{n-1} + 2$ です。$a_n = S_n - S_{n-1}$ なので、

$a_n = (3a_n + 2) - (3a_{n-1} + 2)$

$a_n = 3a_n - 3a_{n-1}$

$-2a_n = -3a_{n-1}$

$a_n = \frac{3}{2}a_{n-1}$

これは、数列 $\{a_n\}$ が公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列であることを示しています。初項は $a_1 = -1$ であったので、

$a_n = a_1 \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$

$a_n = -1 \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$

$a_n = -(\frac{3}{2})^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = -(\frac{3}{2})^{n-1}$