2次関数 $y = -2x^2 + 8x + 1$ ($0 \le x \le a$) が、$x = a$ で最大値をとるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。また、$x=a$で最大値を取る場合のグラフの概形を描け。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 8x + 1$ ($0 \le x \le a$) が、$x = a$ で最大値をとるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。また、$x=a$で最大値を取る場合のグラフの概形を描け。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 8x + 1 = -2(x^2 - 4x) + 1 = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -2((x - 2)^2 - 4) + 1 = -2(x - 2)^2 + 8 + 1 = -2(x - 2)^2 + 9$

したがって、平方完成すると、

$y = -2(x - 2)^2 + 9$

軸は $x = 2$ です。

区間 $0 \le x \le a$ において、$x = a$ で最大値をとるためには、軸 $x = 2$ が区間の左側に位置している必要があります。 つまり、$a \le 2$ でなければなりません。

また、この関数は上に凸な関数であるため、区間の左端 $x = 0$ での値よりも、右端 $x = a$ での値が大きい必要があります。

グラフの軸は$x=2$で、上に凸なグラフなので、$x=a$で最大値を取るためには、$0\le a \le 2$である必要があります。

$a$ が 2 を超えると、最大値を取るのは $x = 2$ になり、$x = a$ では最大値を取らなくなります。

よって、$a=2$のとき、$x=2$で最大値9をとり、$x=0$で最大値1を取ります。$a < 2$では、$x=a$で最大値をとります。

$a \gt 0$である必要があります。

グラフは、$0 \le x \le a$の範囲で、$x=a$において上に凸で減少するグラフを描きます。

3. 最終的な答え

$0 < a \le 2$

軸は $x=2$