問題は、3次式 $P(x) = x^3 - (k+1)x^2 + (2k+3)x - (k+3)$ が与えられ、以下の問いに答えるものです。 (1) $P(x)$ を因数分解する。 (2) $k < 0$ のとき、$P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の範囲を求める。 (3) (2)で求めた $k$ の範囲において、$P(x) = 0$ の異なる3つの実数解を $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とするとき、$\alpha + \beta$ を $k$ を用いて表し、$|\frac{\gamma}{\beta - \alpha}| + |2\alpha - k|$ の最小値とその時の $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は、3次式 $P(x) = x^3 - (k+1)x^2 + (2k+3)x - (k+3)$ が与えられ、以下の問いに答えるものです。

(1) $P(x)$ を因数分解する。

(2) $k < 0$ のとき、$P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の範囲を求める。

(3) (2)で求めた $k$ の範囲において、$P(x) = 0$ の異なる3つの実数解を $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とするとき、$\alpha + \beta$ を $k$ を用いて表し、$|\frac{\gamma}{\beta - \alpha}| + |2\alpha - k|$ の最小値とその時の $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を利用して $P(x)$ を因数分解する。$P(1) = 1 - (k+1) + (2k+3) - (k+3) = 1 - k - 1 + 2k + 3 - k - 3 = 0$ なので、$P(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

$P(x) = (x-1)(x^2 - kx + k + 3)$

(2) $P(x) = (x-1)(x^2 - kx + k + 3) = 0$ が異なる3つの実数解を持つ条件を考える。

$x^2 - kx + k + 3 = 0$ が $x=1$ 以外の異なる2つの実数解を持てばよい。

$x^2 - kx + k + 3 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = k^2 - 4(k+3) > 0$

$k^2 - 4k - 12 > 0$

$(k-6)(k+2) > 0$

$k < -2$ または $k > 6$

$x=1$ が解ではない条件は、$1 - k + k + 3 \neq 0$ より $4 \neq 0$ なので常に満たされる。

$k < 0$ の条件より、$k < -2$

(3) $x^2 - kx + k + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = k$

したがって、$\alpha + \beta = k$

$\alpha + \beta + \gamma = k+1$ より $\gamma = 1$

$|\frac{\gamma}{\beta - \alpha}| + |2\alpha - k| = |\frac{1}{\beta - \alpha}| + |2\alpha - (\alpha + \beta)| = |\frac{1}{\beta - \alpha}| + |\alpha - \beta| = \frac{1}{\beta - \alpha} + \beta - \alpha$

$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{k^2 - 4(k+3)} = \sqrt{k^2 - 4k - 12}$

$t = \beta - \alpha > 0$ とすると、$|\frac{\gamma}{\beta - \alpha}| + |2\alpha - k| = \frac{1}{t} + t \geq 2$ (相加相乗平均)

等号成立は $t=1$ のとき。

$\sqrt{k^2 - 4k - 12} = 1$

$k^2 - 4k - 12 = 1$

$k^2 - 4k - 13 = 0$

$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 52}}{2} = 2 \pm \sqrt{17}$

$k < -2$ より、$k = 2 - \sqrt{17}$

最小値は2、その時の $k$ の値は $2-\sqrt{17}$

3. 最終的な答え

(1) $P(x) = (x-1)(x^2 - kx + k + 3)$

(2) $k < -2$

(3) $\alpha + \beta = k$

最小値: 2、その時の $k$ の値: $2-\sqrt{17}$