与えられた式 $x^2 - 3x - (k+1)(k-2)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3x - (k+1)(k-2)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、定数項を展開します。

$(k+1)(k-2) = k^2 - 2k + k - 2 = k^2 - k - 2$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$x^2 - 3x - (k^2 - k - 2)$

$x^2 - 3x - k^2 + k + 2$

次に、与えられた式が因数分解できるかどうかを検討します。

$x^2 - 3x - (k^2 - k - 2)$ を因数分解することを考えます。因数分解できると仮定すると、

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ となる $a$ と $b$ を見つける必要があります。

つまり、$a+b = -3$ かつ $ab = -(k^2-k-2)$ となる $a$ と $b$ を探します。

$ab = -k^2 + k + 2 = -(k-2)(k+1)$

$a = k+1$ とすると、$b = -k+2 = -(k-2)$

このとき、$a+b = (k+1) + (-k+2) = 3$ となり、条件 $a+b = -3$ と一致しません。

ここで、$a = -k-1$ とすると、$b = k-2$

$a+b = -k-1 + k-2 = -3$ となり、$a+b = -3$ を満たします。

$ab = (-k-1)(k-2) = -k^2 + 2k - k + 2 = -k^2 + k + 2 = -(k^2 - k - 2)$

したがって、$x^2 - 3x - (k^2 - k - 2) = (x - k - 1)(x + k - 2)$

3. 最終的な答え

$(x - k - 1)(x + k - 2)$