複素数 $\alpha = -1 + i$ と $\beta = 3 - \sqrt{3} + (3 + \sqrt{3})i$ が与えられています。 (1) $\frac{\beta}{\alpha}$ を計算し、$\alpha$ と $\beta$ の絶対値と偏角を求めます。 (2) $\alpha^n$ が実数となるような最小の自然数 $n$ を求め、そのときの $\alpha^n$ の値を計算します。また、$\beta^m$ が純虚数となるような最小の自然数 $m$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = -1 + i$ と $\beta = 3 - \sqrt{3} + (3 + \sqrt{3})i$ が与えられています。

(1) $\frac{\beta}{\alpha}$ を計算し、$\alpha$ と $\beta$ の絶対値と偏角を求めます。

(2) $\alpha^n$ が実数となるような最小の自然数 $n$ を求め、そのときの $\alpha^n$ の値を計算します。また、$\beta^m$ が純虚数となるような最小の自然数 $m$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\beta}{\alpha}$を計算します。

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{3 - \sqrt{3} + (3 + \sqrt{3})i}{-1 + i} = \frac{(3 - \sqrt{3} + (3 + \sqrt{3})i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{(-3 + \sqrt{3} - (3 + \sqrt{3})i) + (-3 - \sqrt{3} + (3 - \sqrt{3})i)i}{2} = \frac{-3 + \sqrt{3} - (3 + \sqrt{3})i - (3 + \sqrt{3})i - 3 + \sqrt{3}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{3} - 6i}{2} = -3 + \sqrt{3} - 3i$

したがって、ア = 3、イ = 3

$|\alpha|$ を計算します。

$|\alpha| = |-1 + i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

したがって、ウ = 2

$arg(\alpha)$ を計算します。

$\alpha = -1 + i$ は第2象限にあるので、$arg(\alpha) = \frac{3\pi}{4}$

したがって、エ = ⑦

$|\beta|$ を計算します。

$|\beta| = \sqrt{(3 - \sqrt{3})^2 + (3 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{(9 - 6\sqrt{3} + 3) + (9 + 6\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

したがって、オ = 2、カ = 6

$arg(\beta)$ を計算します。

$\beta = 3 - \sqrt{3} + (3 + \sqrt{3})i$

$tan(arg(\beta)) = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$

$tan(\frac{5\pi}{12}) = tan(75^\circ) = tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{tan(45^\circ) + tan(30^\circ)}{1 - tan(45^\circ)tan(30^\circ)} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

したがって、キ = ④

(2)

$\alpha = -1 + i = \sqrt{2}(cos(\frac{3\pi}{4}) + isin(\frac{3\pi}{4}))$

$\alpha^n = (\sqrt{2})^n (cos(\frac{3n\pi}{4}) + isin(\frac{3n\pi}{4}))$

$\alpha^n$ が実数となるためには、$sin(\frac{3n\pi}{4}) = 0$ でなければならない。

$\frac{3n\pi}{4} = k\pi$ ($k$は整数)

$3n = 4k$

$n = \frac{4k}{3}$

最小の自然数 $n$ は $k = 3$ のとき $n = 4$

したがって、ク = 4

$\alpha^4 = (\sqrt{2})^4 (cos(3\pi) + isin(3\pi)) = 4(-1 + 0i) = -4$

したがって、ケコ = -4

$\beta = 3 - \sqrt{3} + (3 + \sqrt{3})i = 2\sqrt{6}(cos(\frac{5\pi}{12}) + isin(\frac{5\pi}{12}))$

$\beta^m = (2\sqrt{6})^m (cos(\frac{5m\pi}{12}) + isin(\frac{5m\pi}{12}))$

$\beta^m$ が純虚数となるためには、$cos(\frac{5m\pi}{12}) = 0$ でなければならない。

$\frac{5m\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k$は整数)

$\frac{5m}{12} = \frac{1}{2} + k$

$5m = 6 + 12k$

$m = \frac{6 + 12k}{5}$

最小の自然数 $m$ は $k = 2$ のとき $m = \frac{6 + 24}{5} = \frac{30}{5} = 6$

したがって、サ = 6

3. 最終的な答え

(1) ア = 3, イ = 3

ウ = 2, エ = ⑦

オ = 2, カ = 6, キ = ④

(2) ク = 4, ケコ = -4, サ = 6