与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix} 0 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を利用します。第一行に0が含まれているので、第一行で展開すると計算が楽になります。

$\begin{vmatrix} 0 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 3 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = 3 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix}$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

まず、$C_{12}$ を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - (-4)) - (-1)(6 - 8) + 2(-4 - 4) = 7 - 2 - 16 = -11$

したがって、$C_{12} = -(-11) = 11$

次に、$C_{13}$ を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - 2) - 1(6 - 8) + 2(2 - 4) = 1 + 2 - 4 = -1$

したがって、$C_{13} = -1$

元の行列式は次のようになります。

$3 \cdot C_{12} + 2 \cdot C_{13} = 3 \cdot 11 + 2 \cdot (-1) = 33 - 2 = 31$

3. 最終的な答え

31