与えられた連立一次方程式を解く問題です。 $\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + by + z = 1 \\ x + y + cz = 1 \end{cases}$ ここで、$a, b, c$ は定数、$x, y, z$ が変数です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。

$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + by + z = 1 \\ x + y + cz = 1 \end{cases}$

ここで、$a, b, c$ は定数、$x, y, z$ が変数です。

2. 解き方の手順

まず、第1式から第2式を引くと、

$ax + y + z - (x + by + z) = 1 - 1$

$(a-1)x + (1-b)y = 0$

$(a-1)x = (b-1)y$

よって、$y = \frac{a-1}{b-1}x$ が得られます。（ただし、$b \neq 1$）

次に、第2式から第3式を引くと、

$x + by + z - (x + y + cz) = 1 - 1$

$(b-1)y + (1-c)z = 0$

$(b-1)y = (c-1)z$

よって、$z = \frac{b-1}{c-1}y$ が得られます。（ただし、$c \neq 1$）

$y = \frac{a-1}{b-1}x$ を代入すると、

$z = \frac{b-1}{c-1} \cdot \frac{a-1}{b-1}x = \frac{a-1}{c-1}x$ が得られます。（ただし、$c \neq 1$）

これらを第1式に代入すると、

$ax + \frac{a-1}{b-1}x + \frac{a-1}{c-1}x = 1$

$x (a + \frac{a-1}{b-1} + \frac{a-1}{c-1}) = 1$

$x (\frac{a(b-1)(c-1) + (a-1)(c-1) + (a-1)(b-1)}{(b-1)(c-1)}) = 1$

$x (a(bc - b - c + 1) + a(c-1) - (c-1) + a(b-1) - (b-1)) = (b-1)(c-1)$

$x (abc - ab - ac + a + ac - a - c + 1 + ab - a - b + 1) = bc - b - c + 1$

$x (abc - a - b - c + 2) = bc - b - c + 1$

$x = \frac{bc - b - c + 1}{abc - a - b - c + 2}$

$y = \frac{a-1}{b-1}x = \frac{a-1}{b-1} \cdot \frac{bc - b - c + 1}{abc - a - b - c + 2} = \frac{(a-1)(bc-b-c+1)}{(b-1)(abc-a-b-c+2)}$

$z = \frac{a-1}{c-1}x = \frac{a-1}{c-1} \cdot \frac{bc - b - c + 1}{abc - a - b - c + 2} = \frac{(a-1)(bc-b-c+1)}{(c-1)(abc-a-b-c+2)}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{bc - b - c + 1}{abc - a - b - c + 2}$

$y = \frac{(a-1)(bc - b - c + 1)}{(b-1)(abc - a - b - c + 2)}$

$z = \frac{(a-1)(bc - b - c + 1)}{(c-1)(abc - a - b - c + 2)}$

ただし、$abc - a - b - c + 2 \neq 0$, $b \neq 1$, $c \neq 1$ である必要があります。

特に a=b=c=1 の時、解は不定。

上記は $b\ne 1, c\ne 1$ の場合を想定した解であり、$b=1$ または $c=1$ の場合は別途検討が必要です。