与えられた正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列を、余因子を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 8 \end{pmatrix}$ の逆行列を、余因子を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(3 \cdot 8 - 4 \cdot 3) - 2(1 \cdot 8 - 4 \cdot 2) + 3(1 \cdot 3 - 3 \cdot 2) = 1(24 - 12) - 2(8 - 8) + 3(3 - 6) = 12 - 0 - 9 = 3$

(2) 行列 $A$ の余因子行列 $C$ を計算します。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列を取り除いた行列式の $(-1)^{i+j}$ 倍で定義されます。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} = 3 \cdot 8 - 4 \cdot 3 = 24 - 12 = 12$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 8 - 4 \cdot 2) = -(8 - 8) = 0$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 8 \end{vmatrix} = -(2 \cdot 8 - 3 \cdot 3) = -(16 - 9) = -7$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot 8 - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 3 - 2 \cdot 2) = -(3 - 4) = 1$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 8 - 9 = -1$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 4 - 3 \cdot 1) = -(4 - 3) = -1$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

余因子行列 $C$ は、

$C = \begin{pmatrix} 12 & 0 & -3 \\ -7 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ を計算します。これは、余因子行列の行と列を入れ替えることで得られます。

$C^T = \begin{pmatrix} 12 & -7 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T$ で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 12 & -7 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -7/3 & -1/3 \\ 0 & 2/3 & -1/3 \\ -1 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -7/3 & -1/3 \\ 0 & 2/3 & -1/3 \\ -1 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}$