次の連立1次方程式について、以下の問いに答えます。 $$\begin{cases} x + 3y - 4z = -4 \\ 4x + 12y - z = 14 \\ 7x + 21y - 9z = 10 \end{cases}$$ (1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求めます。 (2) 連立方程式の解を求めます。

代数学連立一次方程式行列階数行基本変形解の存在性
2025/7/21

1. 問題の内容

次の連立1次方程式について、以下の問いに答えます。
\begin{cases}
x + 3y - 4z = -4 \\
4x + 12y - z = 14 \\
7x + 21y - 9z = 10
\end{cases}
(1) 係数行列および拡大係数行列の階数を求めます。
(2) 連立方程式の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 係数行列と拡大係数行列を求め、それぞれの階数を求めます。
係数行列 AA
A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & -4 \\
4 & 12 & -1 \\
7 & 21 & -9
\end{pmatrix}
拡大係数行列 AA'
A' = \begin{pmatrix}
1 & 3 & -4 & -4 \\
4 & 12 & -1 & 14 \\
7 & 21 & -9 & 10
\end{pmatrix}
行列 AA' に対して行基本変形を行います。
2行目を(2行目 - 4 * 1行目)に、3行目を(3行目 - 7 * 1行目)にします。
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -4 & -4 \\
0 & 0 & 15 & 30 \\
0 & 0 & 19 & 38
\end{pmatrix}
3行目を(3行目 - 19/15 * 2行目)にします。
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -4 & -4 \\
0 & 0 & 15 & 30 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
これにより、拡大係数行列の階数は2となります。
また、係数行列は
A = \begin{pmatrix}
1 & 3 & -4 \\
4 & 12 & -1 \\
7 & 21 & -9
\end{pmatrix}
これに対し同様の操作をすると、
\begin{pmatrix}
1 & 3 & -4 \\
0 & 0 & 15 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
となり、階数は2となります。
(2) 連立方程式の解を求めます。
上記の行基本変形より、連立方程式は
\begin{cases}
x + 3y - 4z = -4 \\
15z = 30
\end{cases}
となります。
したがって、z=2z = 2です。
これを1つ目の式に代入すると、x+3y8=4x + 3y - 8 = -4となり、x=3y+4x = -3y + 4となります。
y=ty = tとおくと、
\begin{cases}
x = -3t + 4 \\
y = t \\
z = 2
\end{cases}

3. 最終的な答え

(1) 係数行列の階数: 2, 拡大係数行列の階数: 2
(2) 連立方程式の解:
\begin{cases}
x = -3t + 4 \\
y = t \\
z = 2
\end{cases}
(ttは任意の実数)

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