問題1: 正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{p}$、$\overrightarrow{BC} = \vec{q}$のとき、$\overrightarrow{EC}$と$\overrightarrow{AE}$を$\vec{p}$、$\vec{q}$を用いて表す。 問題2: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$のとき、$3\vec{a}-2\vec{b}$を成分表示し、さらに長さを求める。 問題3: $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$のとき、$\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$を$x\vec{a}+y\vec{b}$の形で表す。 問題4: (1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。 (2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ x \end{pmatrix}$のなす角が$90^\circ$のとき、$x$を求める。 問題5: 平面上の直線$ax+by+c=0$ ($b \neq 0$) の方向ベクトルと法線ベクトルを求める。ただし、$a,b,c$は正の数とする。 問題6: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$の外積を求め、その大きさを求める。 問題7: $A(-2,3,1)$、$B(1,-1,2)$とするとき、次の問いに答える。 (1) $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$を2辺とする平行四辺形の面積を求める。 (2) $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$の2辺に垂直な単位ベクトルを求める。 問題8: 次の計算をする。 (1) $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ 問題9: 次の連立方程式を解く。 $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ 問題10: $A = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$の固有値、固有ベクトルを求める。

1. 問題の内容

問題1: 正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{p}$、$\overrightarrow{BC} = \vec{q}$のとき、$\overrightarrow{EC}$と$\overrightarrow{AE}$を$\vec{p}$、$\vec{q}$を用いて表す。

問題2: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$のとき、$3\vec{a}-2\vec{b}$を成分表示し、さらに長さを求める。

問題3: $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$のとき、$\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$を$x\vec{a}+y\vec{b}$の形で表す。

問題4:

(1) $\vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

(2) $\vec{a} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \\ x \end{pmatrix}$のなす角が$90^\circ$のとき、$x$を求める。

問題5: 平面上の直線$ax+by+c=0$ ($b \neq 0$) の方向ベクトルと法線ベクトルを求める。ただし、$a,b,c$は正の数とする。

問題6: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$のとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$の外積を求め、その大きさを求める。

問題7: $A(-2,3,1)$、$B(1,-1,2)$とするとき、次の問いに答える。

(1) $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$を2辺とする平行四辺形の面積を求める。

(2) $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$の2辺に垂直な単位ベクトルを求める。

問題8: 次の計算をする。

(1) $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

問題9: 次の連立方程式を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

問題10: $A = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$の固有値、固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{BC} = -(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE}) + \overrightarrow{BC} = -(-\vec{p} - \vec{p} - \vec{q}) + \vec{q} = 2\vec{p} + 2\vec{q}$

(2) $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{p} - \vec{q} = 2\vec{p}$

問題2:

$3\vec{a}-2\vec{b} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$|3\vec{a}-2\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

問題3:

$\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$-x+2y = 4$

$x+y = 5$

$3y = 9$

$y = 3$

$x = 5 - y = 5-3 = 2$

$\vec{p} = 2\vec{a}+3\vec{b}$

問題4:

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (5)(1) = 6+5 = 11$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$のとき、なす角が90度。

$(\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (5)(x) = 0$

$6 + 5x = 0$

$5x = -6$

$x = -\frac{6}{5}$

問題5:

$ax + by + c = 0$

$by = -ax - c$

$y = -\frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$

傾きは $-\frac{a}{b}$

方向ベクトル: $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$

法線ベクトル: $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

問題6:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(3) - (1)(2) \\ (1)(-1) - (1)(3) \\ (1)(2) - (-2)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6-2 \\ -1-3 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

問題7:

(1) $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} (3)(2) - (1)(-1) \\ (1)(1) - (-2)(2) \\ (-2)(-1) - (3)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+1 \\ 1+4 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

面積$= |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \sqrt{7^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 25 + 1} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$

(2) $\vec{n} = \frac{\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|} = \frac{1}{5\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7/(5\sqrt{3}) \\ 5/(5\sqrt{3}) \\ -1/(5\sqrt{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\sqrt{3}/15 \\ \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/15 \end{pmatrix}$

問題8:

(1) $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -2 & -8 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = (1)(3) + (4)(-2) = 3 - 8 = -5$

問題9:

$\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$x - 3y = -2$

$-2x + 6y = 4$

$-2(x-3y) = 4$

$x - 3y = -2$

$x = 3y-2$

連立方程式の解は無数に存在する。

問題10:

$A = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

$\text{det}(A - \lambda I) = \text{det}\begin{pmatrix} -2-\lambda & 6 \\ -1 & 5-\lambda \end{pmatrix} = (-2-\lambda)(5-\lambda) - (6)(-1) = -10 + 2\lambda - 5\lambda + \lambda^2 + 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

$\lambda_1 = 4$、$\lambda_2 = -1$

$\lambda_1 = 4$のとき、

$\begin{pmatrix} -6 & 6 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-6x + 6y = 0$

$-x + y = 0$

$x = y$

$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -1$のとき、

$\begin{pmatrix} -1 & 6 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 6y = 0$

$x = 6y$

$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題1: (1) $\overrightarrow{EC} = 2\vec{p} + 2\vec{q}$ (2) $\overrightarrow{AE} = 2\vec{p}$

問題2: $3\vec{a}-2\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}$, $|3\vec{a}-2\vec{b}| = \sqrt{13}$

問題3: $\vec{p} = 2\vec{a}+3\vec{b}$

問題4: (1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 11$ (2) $x = -\frac{6}{5}$

問題5: 方向ベクトル: $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$、法線ベクトル: $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

問題6: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$, $|\vec{a} \times \vec{b}| = 4\sqrt{5}$

問題7: (1) 面積$= 5\sqrt{3}$ (2) $\begin{pmatrix} 7\sqrt{3}/15 \\ \sqrt{3}/3 \\ -\sqrt{3}/15 \end{pmatrix}$

問題8: (1) $\begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -2 & -8 \end{pmatrix}$ (2) $-5$

問題9: $x = 3y-2$ (解は無数)

問題10: 固有値: $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = -1$。固有ベクトル: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}$