2次関数 $y = x^2 + (m-1)x + m^2 - 1$ のグラフと $x$ 軸との位置関係が以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (1) 異なる2点で交わる。 (2) 共有点をもたない。 (3) 共有点をもつ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + (m-1)x + m^2 - 1$ のグラフと $x$ 軸との位置関係が以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(1) 異なる2点で交わる。

(2) 共有点をもたない。

(3) 共有点をもつ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフと $x$ 軸との交点の個数は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の実数解の個数と一致します。したがって、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いて考えます。

(1) 異なる2点で交わる場合、判別式 $D > 0$ となります。

$D = (m-1)^2 - 4(1)(m^2 - 1) > 0$

$m^2 - 2m + 1 - 4m^2 + 4 > 0$

$-3m^2 - 2m + 5 > 0$

$3m^2 + 2m - 5 < 0$

$(3m + 5)(m - 1) < 0$

$-\frac{5}{3} < m < 1$

(2) 共有点をもたない場合、判別式 $D < 0$ となります。

$D = (m-1)^2 - 4(1)(m^2 - 1) < 0$

$m^2 - 2m + 1 - 4m^2 + 4 < 0$

$-3m^2 - 2m + 5 < 0$

$3m^2 + 2m - 5 > 0$

$(3m + 5)(m - 1) > 0$

$m < -\frac{5}{3}$ または $m > 1$

(3) 共有点をもつ場合、判別式 $D \geq 0$ となります。

$D = (m-1)^2 - 4(1)(m^2 - 1) \geq 0$

$m^2 - 2m + 1 - 4m^2 + 4 \geq 0$

$-3m^2 - 2m + 5 \geq 0$

$3m^2 + 2m - 5 \leq 0$

$(3m + 5)(m - 1) \leq 0$

$-\frac{5}{3} \leq m \leq 1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{5}{3} < m < 1$

(2) $m < -\frac{5}{3}$ または $m > 1$

(3) $-\frac{5}{3} \leq m \leq 1$