ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (-2, 3)$, $\vec{c} = (-3, 8)$ が与えられているとき、$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ を満たす $x$, $y$ の値を求めよ。特に、$y$ の値を求める。また、2つのベクトル $\vec{m} = (1, p)$ と $\vec{n} = (p+3, 4)$ が平行になるときの $p$ の値を求める。

代数学ベクトル連立方程式線形代数ベクトルの平行
2025/7/21

1. 問題の内容

ベクトル a=(1,2)\vec{a} = (1, 2), b=(2,3)\vec{b} = (-2, 3), c=(3,8)\vec{c} = (-3, 8) が与えられているとき、c=xa+yb\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} を満たす xx, yy の値を求めよ。特に、yy の値を求める。また、2つのベクトル m=(1,p)\vec{m} = (1, p)n=(p+3,4)\vec{n} = (p+3, 4) が平行になるときの pp の値を求める。

2. 解き方の手順

(2)
c=xa+yb\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} より、
(3,8)=x(1,2)+y(2,3)(-3, 8) = x(1, 2) + y(-2, 3)
(3,8)=(x2y,2x+3y)(-3, 8) = (x - 2y, 2x + 3y)
したがって、以下の連立方程式が得られる。
x2y=3x - 2y = -3
2x+3y=82x + 3y = 8
1つ目の式を2倍して2つ目の式から引くと、
(2x+3y)2(x2y)=82(3)(2x + 3y) - 2(x - 2y) = 8 - 2(-3)
2x+3y2x+4y=8+62x + 3y - 2x + 4y = 8 + 6
7y=147y = 14
y=2y = 2
x2y=3x - 2y = -3y=2y = 2 を代入すると、
x2(2)=3x - 2(2) = -3
x4=3x - 4 = -3
x=1x = 1
(3)
m\vec{m}n\vec{n} が平行であるとき、n=km\vec{n} = k\vec{m} を満たす実数 kk が存在する。
(p+3,4)=k(1,p)(p+3, 4) = k(1, p)
(p+3,4)=(k,kp)(p+3, 4) = (k, kp)
したがって、以下の連立方程式が得られる。
p+3=kp+3 = k
4=kp4 = kp
k=p+3k = p+34=kp4 = kp に代入すると、
4=(p+3)p4 = (p+3)p
4=p2+3p4 = p^2 + 3p
p2+3p4=0p^2 + 3p - 4 = 0
(p+4)(p1)=0(p+4)(p-1) = 0
p=4,1p = -4, 1

3. 最終的な答え

(2) y=2y = 2
(3) p=4,1p = -4, 1

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