5人のハンドボール投げの記録 $28, a, 24, b, c$ が与えられています。これらの記録は $24 < a < 28 < b < c$ を満たし、第3四分位数は33m、平均値は29m、分散は14です。このとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

5人のハンドボール投げの記録 $28, a, 24, b, c$ が与えられています。これらの記録は $24 < a < 28 < b < c$ を満たし、第3四分位数は33m、平均値は29m、分散は14です。このとき、$a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、データを小さい順に並べると $24, a, 28, b, c$ となります。

(イ)より、第3四分位数は $b$ であり、$b = 33$ です。

(ウ)より、平均値は29なので、次の式が成り立ちます。

$$\frac{24 + a + 28 + b + c}{5} = 29$$

$b = 33$ を代入すると、

$$\frac{24 + a + 28 + 33 + c}{5} = 29$$

$$24 + a + 28 + 33 + c = 145$$

$$a + c + 85 = 145$$

$$a + c = 60$$

(エ)より、分散は14なので、次の式が成り立ちます。

$$\frac{(24-29)^2 + (a-29)^2 + (28-29)^2 + (b-29)^2 + (c-29)^2}{5} = 14$$

$b = 33$ を代入すると、

$$\frac{(-5)^2 + (a-29)^2 + (-1)^2 + (33-29)^2 + (c-29)^2}{5} = 14$$

$$25 + (a-29)^2 + 1 + 16 + (c-29)^2 = 70$$

$$(a-29)^2 + (c-29)^2 = 28$$

$c = 60 - a$ を代入すると、

$$(a-29)^2 + (60 - a - 29)^2 = 28$$

$$(a-29)^2 + (31 - a)^2 = 28$$

$$a^2 - 58a + 841 + a^2 - 62a + 961 = 28$$

$$2a^2 - 120a + 1802 = 28$$

$$2a^2 - 120a + 1774 = 0$$

$$a^2 - 60a + 887 = 0$$

解の公式を用いて、$a$ を求めます。

$$a = \frac{-(-60) \pm \sqrt{(-60)^2 - 4(1)(887)}}{2(1)}$$

$$a = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 3548}}{2}$$

$$a = \frac{60 \pm \sqrt{52}}{2}$$

$$a = \frac{60 \pm 2\sqrt{13}}{2}$$

$$a = 30 \pm \sqrt{13}$$

$24 < a < 28$ を満たすのは、$a = 30 - \sqrt{13} \approx 30 - 3.6 = 26.4$ の方です。

したがって、$a = 30 - \sqrt{13}$ となります。

このとき、$c = 60 - a = 60 - (30 - \sqrt{13}) = 30 + \sqrt{13} \approx 30 + 3.6 = 33.6$ です。

3. 最終的な答え

$a = 30 - \sqrt{13}$

$b = 33$

$c = 30 + \sqrt{13}$