5人のハンドボール投げの記録 $28, a, 24, b, c$ (単位はm) が与えられており、以下の条件を満たすときの$a, b, c$の値を求める問題です。 (ア) $24 < a < 28 < b < c$ (イ) 第3四分位数は33m (ウ) 平均値は29m (エ) 分散は14

1. 問題の内容

5人のハンドボール投げの記録 $28, a, 24, b, c$ (単位はm) が与えられており、以下の条件を満たすときの$a, b, c$の値を求める問題です。

(ア) $24 < a < 28 < b < c$

(イ) 第3四分位数は33m

(ウ) 平均値は29m

(エ) 分散は14

2. 解き方の手順

まず、データが小さい順に並んでいる必要があります。条件(ア)から、$24 < a < 28 < b < c$ なので、データの並びは $24, a, 28, b, c$ となります。

(イ) 第3四分位数が33mであることから、$b=33$となります。

(ウ) 平均値が29mであることから、

$\frac{24 + a + 28 + b + c}{5} = 29$

$24 + a + 28 + 33 + c = 145$

$a + c + 85 = 145$

$a + c = 60$ …(1)

(エ) 分散が14であることから、

$\frac{(24-29)^2 + (a-29)^2 + (28-29)^2 + (b-29)^2 + (c-29)^2}{5} = 14$

$(24-29)^2 + (a-29)^2 + (28-29)^2 + (33-29)^2 + (c-29)^2 = 70$

$25 + (a-29)^2 + 1 + 16 + (c-29)^2 = 70$

$(a-29)^2 + (c-29)^2 = 28$ …(2)

(1)より、$c = 60 - a$ であるから、(2)に代入すると

$(a-29)^2 + (60-a-29)^2 = 28$

$(a-29)^2 + (31-a)^2 = 28$

$a^2 - 58a + 841 + a^2 - 62a + 961 = 28$

$2a^2 - 120a + 1802 = 28$

$2a^2 - 120a + 1774 = 0$

$a^2 - 60a + 887 = 0$

解の公式より、

$a = \frac{60 \pm \sqrt{60^2 - 4 \cdot 887}}{2}$

$a = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 3548}}{2}$

$a = \frac{60 \pm \sqrt{52}}{2}$

$a = \frac{60 \pm 2\sqrt{13}}{2}$

$a = 30 \pm \sqrt{13}$

$24 < a < 28$ を満たす必要があるから、$a = 30 - \sqrt{13}$

$\sqrt{13} \approx 3.6$ なので、$a \approx 30 - 3.6 = 26.4$

このとき、$c = 60 - a = 60 - (30 - \sqrt{13}) = 30 + \sqrt{13}$

$c \approx 30 + 3.6 = 33.6$

条件 $28 < b < c$ を満たしている。

3. 最終的な答え

$a = 30 - \sqrt{13}$

$b = 33$

$c = 30 + \sqrt{13}$