点 A(4, 3), B(4, -4) があり、直線 $l: y = 3x$ がある。点 A を通り、直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。 (i) $\triangle OAB$ の面積を求める。 (ii) 直線 $m$ の式を求める。 (iii) 直線 $m$ 上に $y$ 座標が負である点 C を、$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるようにとる。点 C の座標を求める。

1. 問題の内容

点 A(4, 3), B(4, -4) があり、直線 $l: y = 3x$ がある。点 A を通り、直線 $l$ に平行な直線を $m$ とする。

(i) $\triangle OAB$ の面積を求める。

(ii) 直線 $m$ の式を求める。

(iii) 直線 $m$ 上に $y$ 座標が負である点 C を、$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しくなるようにとる。点 C の座標を求める。

2. 解き方の手順

(i) $\triangle OAB$ の面積を求める。

点 A と点 B の $x$ 座標はともに 4 であるので、線分 AB は $x = 4$ 上にある。

線分 AB の長さは $3 - (-4) = 7$ である。

原点 O から線分 AB までの距離は 4 である。

したがって、$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$ である。

(ii) 直線 $m$ の式を求める。

直線 $m$ は直線 $l: y = 3x$ に平行なので、$y = 3x + b$ と表せる。

直線 $m$ は点 A(4, 3) を通るので、$3 = 3 \times 4 + b$ より $b = 3 - 12 = -9$ である。

したがって、直線 $m$ の式は $y = 3x - 9$ である。

(iii) 点 C の座標を求める。

点 C は直線 $m: y = 3x - 9$ 上にあるので、点 C の座標を $(x, 3x - 9)$ とおく。

$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積が等しいので、$\triangle OAB$ の面積は 14 であるから、$\triangle OAC$ の面積も 14 である。

原点 O から直線 AB までの距離は 4 である。

したがって、$\frac{1}{2} \times OA \times OC \times \sin{\angle AOC} = 14$ である。

$\triangle OAC$ の面積は $\frac{1}{2} | (0(3x-9) - (3x-9)0) + (x(0) - 4(3x-9)) + (4(3x-9) - x(0)) | = 14$ ともかける。

$\triangle OAC$ の面積は $\frac{1}{2} | -12x + 36 + 12x - 36 | = \frac{1}{2}|AB \times height| = \frac{1}{2} AB \times height = 14$.

$AB = \sqrt{(4-4)^2 + (3-(-4))^2} = \sqrt{49} = 7$.

よって、$7 \times h = 28$ となり、$h = 4$ となる。

$y=3x-9$ と AB の距離が 4 となるようにする。

線分 OA を底辺と考えると、$OA = \sqrt{4^2+3^2}=5$ である。

点Cの座標を $(x,3x-9)$ とすると、$\triangle OAC$の面積は $\frac{1}{2} |4(3x-9) - 3x| = \frac{1}{2} |12x-36-3x|=\frac{1}{2}|9x-36|$となる。

したがって$\frac{1}{2}|9x-36|=14$、$|9x-36|=28$、$9x-36 = 28$ or $9x-36 = -28$。

$9x = 64$, $x = \frac{64}{9}$, $y = 3(\frac{64}{9}) - 9 = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3}$.

$9x = 8$, $x = \frac{8}{9}$, $y = 3(\frac{8}{9}) - 9 = \frac{8}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{19}{3}$.

点 C の $y$ 座標は負であるので、$x = \frac{8}{9}$、$y = -\frac{19}{3}$ となる。

したがって、点 C の座標は $(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$ である。

3. 最終的な答え

(i) $\triangle OAB$ の面積は 14

(ii) 直線 $m$ の式は $y = 3x - 9$

(iii) 点 C の座標は $(\frac{8}{9}, -\frac{19}{3})$