$k$ を整数とする。2次方程式 $(k+7)x^2 - 2(k+4)x + 2k = 0$ が異なる実数解をもつとき、$k$ の最小値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を整数とする。2次方程式 $(k+7)x^2 - 2(k+4)x + 2k = 0$ が異なる実数解をもつとき、$k$ の最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D > 0$ となることです。

まず、与えられた2次方程式 $(k+7)x^2 - 2(k+4)x + 2k = 0$ が2次方程式であるためには、$k+7 \neq 0$ すなわち $k \neq -7$ が必要です。

次に、判別式 $D$ を計算します。$x$ の係数が偶数なので、$D/4$ を計算します。

$D/4 = (k+4)^2 - (k+7)(2k) = k^2 + 8k + 16 - (2k^2 + 14k) = k^2 + 8k + 16 - 2k^2 - 14k = -k^2 - 6k + 16$

$D/4 > 0$ となるための条件は、$-k^2 - 6k + 16 > 0$ です。

両辺に $-1$ をかけて $k^2 + 6k - 16 < 0$ となります。

これを因数分解すると、$(k+8)(k-2) < 0$ となります。

したがって、$-8 < k < 2$ です。

$k$ は整数であるため、$k$ の取り得る値は、$-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$ です。

しかし、$k \neq -7$ であるため、 $k$ の取りうる値は $-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1$ となります。

したがって、最小値は $-6$、最大値は $1$ です。

3. 最終的な答え

最小値: -6

最大値: 1