問題は、以下の2つの命題の真偽を判定することです。 (1) $ab > 9$ ならば $a > 3$ または $b > 3$ (2) $|x-2| > 4$ ならば $|x| > 6$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの命題の真偽を判定することです。

(1) $ab > 9$ ならば $a > 3$ または $b > 3$

(2) $|x-2| > 4$ ならば $|x| > 6$

2. 解き方の手順

(1) の命題について考えます。

この命題が偽であることを示すには、$ab > 9$ であるにもかかわらず、$a \le 3$ かつ $b \le 3$ であるような $a$ と $b$ の例を見つければよいです。たとえば、$a = 10$ かつ $b = 1$の場合、$ab = 10 > 9$ ですが、$a > 3$ であり、$b \le 3$ です。

$a=1, b=10$ の場合、$ab=10 > 9$ ですが、$a \le 3$ であり、$b>3$ です。

$a=2, b=5$ の場合、$ab=10 > 9$ ですが、$a \le 3$ であり、$b>3$ です。

$a=5, b=2$ の場合、$ab=10 > 9$ ですが、$a > 3$ であり、$b\le 3$ です。

$a=3, b=3.1$ の場合、$ab=9.3 > 9$ ですが、$a = 3$ であり、$b>3$ です。

反例として、$a = 1$, $b = 10$ を考えると、$ab = 10 > 9$ ですが、$a = 1 \le 3$ かつ $b = 10 > 3$です。この場合、$a>3$ または $b>3$ は満たされます。

$a=3.1, b=3.1$ の場合、$ab = 9.61 > 9$ であり、$a>3$ かつ $b>3$です。この場合、$a>3$ または $b>3$ は満たされます。

しかし、$a= -5, b= -2$とすると、$ab=10 > 9$ ですが、$a<3$ かつ $b<3$となります。この場合、$a>3$ または $b>3$ は満たされません。したがって、命題(1)は偽です。

(2) の命題について考えます。

$|x-2| > 4$ を解くと、$x-2 > 4$ または $x-2 < -4$ となります。

$x-2 > 4$ の場合、$x > 6$ となります。したがって、$|x| > 6$ が成り立ちます。

$x-2 < -4$ の場合、$x < -2$ となります。したがって、$|x| > 2$ が成り立ちますが、$|x| > 6$ が成り立つとは限りません。

$|x-2| > 4$ より $x > 6$ または $x < -2$

$|x| > 6$ より $x > 6$ または $x < -6$

$x= -3$ とすると、$|x-2| = |-3-2| = |-5| = 5 > 4$ ですが、$|x| = |-3| = 3 < 6$ となり、$|x| > 6$ が成り立ちません。したがって、命題(2)は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 偽