実数 $a$ に対して、「任意の自然数 $n$ に対し常に $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ が成り立つ」ことが、$0 < a \le 1$ であるための何条件かを問う問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、「任意の自然数 $n$ に対し常に $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ が成り立つ」ことが、$0 < a \le 1$ であるための何条件かを問う問題です。

2. 解き方の手順

(i) 「任意の自然数 $n$ に対し常に $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ が成り立つ」 $\Rightarrow$ $0 < a \le 1$ を調べます。

$\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ は $n^2 \ge a^2$ と同値です。これは任意の自然数 $n$ に対して成り立つので、$n=1$ のときも成り立ちます。

したがって、$1 \ge a^2$ となり、$-1 \le a \le 1$ が得られます。

ここで、$a \neq 0$ であることに注意すると、$-1 \le a < 0$ または $0 < a \le 1$ となります。

よって、「任意の自然数 $n$ に対し常に $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ が成り立つ」 $\Rightarrow$ $0 < a \le 1$ とは言えません（例えば、$a = -0.5$ の場合を考えると、$0 < a \le 1$ は満たされませんが、$\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ は任意の自然数 $n$ に対して成り立ちます）。

(ii) $0 < a \le 1$ $\Rightarrow$ 「任意の自然数 $n$ に対し常に $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ が成り立つ」 を調べます。

$0 < a \le 1$ のとき、$a^2 \le 1$ が成り立ちます。

よって、$\frac{1}{a^2} \ge 1$ となります。

また、任意の自然数 $n$ に対して $\frac{1}{n^2} \le 1$ が成り立つので、$\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ が任意の自然数 $n$ に対して成り立ちます。

(i), (ii) より、$0 < a \le 1$ は、「任意の自然数 $n$ に対し常に $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{a^2}$ が成り立つ」ための十分条件ですが、必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

十分条件