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$f(x) = ax^2 - 4ax - 2a^2 + 3$ という2次関数が与えられています。これについて、放物線Cの軸、Cが点(-2, 3)を通る時のaの値、a=1のときのCの平行移動と対称移動、そしてa=-1のときの最小値が-1となるようなkの値を求めます。

代数学二次関数放物線平行移動対称移動最大値最小値二次方程式
2025/7/22

1. 問題の内容

f(x)=ax2−4ax−2a2+3f(x) = ax^2 - 4ax - 2a^2 + 3 という2次関数が与えられています。これについて、放物線Cの軸、Cが点(-2, 3)を通る時のaの値、a=1のときのCの平行移動と対称移動、そしてa=-1のときの最小値が-1となるようなkの値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線Cの軸を求める。
f(x)=a(x2−4x)−2a2+3=a(x−2)2−4a−2a2+3f(x) = a(x^2 - 4x) - 2a^2 + 3 = a(x-2)^2 - 4a - 2a^2 + 3
よって、軸は x=2x = 2。選択肢より、エの 2。
(2) Cが点(-2, 3)を通る時、aの値を求める。
f(−2)=a(−2)2−4a(−2)−2a2+3=4a+8a−2a2+3=−2a2+12a+3=3f(-2) = a(-2)^2 - 4a(-2) - 2a^2 + 3 = 4a + 8a - 2a^2 + 3 = -2a^2 + 12a + 3 = 3
−2a2+12a=0-2a^2 + 12a = 0
−2a(a−6)=0-2a(a - 6) = 0
a≠0a \neq 0 より、a=6a = 6。選択肢より、イの 6。
(3) a=1のとき、f(x)=x2−4x−2+3=x2−4x+1=(x−2)2−3f(x) = x^2 - 4x - 2 + 3 = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3。
これをx軸方向にp, y軸方向にqだけ平行移動すると、y=(x−p−2)2−3+qy = (x-p-2)^2 - 3 + q。
さらにx軸に関して対称移動すると、y=−(x−p−2)2+3−qy = -(x-p-2)^2 + 3 - q。
これがy=−x2−6x−8=−(x2+6x)−8=−(x+3)2+9−8=−(x+3)2+1y = -x^2 - 6x - 8 = -(x^2 + 6x) - 8 = -(x+3)^2 + 9 - 8 = -(x+3)^2 + 1
よって、
−(x−p−2)2+3−q=−(x+3)2+1-(x-p-2)^2 + 3 - q = -(x+3)^2 + 1
p+2=−3p+2 = -3 より、p=−5p = -5
3−q=13 - q = 1 より、q=2q = 2
選択肢より、x軸方向に-5（ア）、y軸方向に2（ウ）。
(4) a = -1のとき、f(x)=−x2+4x−2+3=−x2+4x+1=−(x−2)2+5f(x) = -x^2 + 4x - 2 + 3 = -x^2 + 4x + 1 = -(x-2)^2 + 5
k≤x≤k+2k \leq x \leq k+2におけるf(x)f(x)の最小値が-1になるkを求める。
f(x)=−(x−2)2+5=−1f(x) = -(x-2)^2 + 5 = -1 となるxを求める。
(x−2)2=6(x-2)^2 = 6
x−2=±6x - 2 = \pm \sqrt{6}
x=2±6x = 2 \pm \sqrt{6}
頂点 x=2x=2 が区間内にある場合、 k≤2≤k+2k \leq 2 \leq k+2, つまり 0≤k≤20 \leq k \leq 2.
f(k)=−1f(k) = -1 の場合、 k=2−6k = 2 - \sqrt{6}。これは 0≤k≤20 \leq k \leq 2 を満たす。
f(k+2)=−1f(k+2) = -1 の場合、k+2=2+6k+2 = 2 + \sqrt{6}, k=6k = \sqrt{6}. これは 0≤k≤20 \leq k \leq 2を満たさない。
頂点 x=2x=2 が区間外にある場合:
k>2k > 2 の場合、最小値はf(k)f(k). f(k)=−1f(k) = -1, k=2+6k = 2 + \sqrt{6}. k>2k>2 は満たす。
k+2<2k+2 < 2 の場合、k<0k < 0 の場合、最小値はf(k+2)f(k+2).
f(k+2)=−1f(k+2) = -1, k+2=2−6k+2 = 2-\sqrt{6}, k=−6k = -\sqrt{6}。k<0k < 0は満たす。
2−6≈2−2.45=−0.452 - \sqrt{6} \approx 2 - 2.45 = -0.45
6≈2.45\sqrt{6} \approx 2.45
小さい順に 2−6,−62-\sqrt{6}, -\sqrt{6}
選択肢に該当するものがないため、計算ミスを検証する。
k=2−6k = 2-\sqrt{6} のとき、k+2=4−6k+2 = 4-\sqrt{6}
f(2−6)=−(2−6−2)2+5=−(−6)2+5=−6+5=−1f(2-\sqrt{6}) = -(2-\sqrt{6} - 2)^2 + 5 = -(-\sqrt{6})^2 + 5 = -6 + 5 = -1
f(4−6)=−(4−6−2)2+5=−(2−6)2+5=−(4−46+6)+5=−10+46+5=−5+46=−5+4∗2.45=−5+9.8≈4.8f(4-\sqrt{6}) = -(4-\sqrt{6} - 2)^2 + 5 = -(2-\sqrt{6})^2 + 5 = -(4 - 4\sqrt{6} + 6) + 5 = -10 + 4\sqrt{6} + 5 = -5 + 4\sqrt{6} = -5 + 4*2.45 = -5 + 9.8 \approx 4.8
k=−6k = -\sqrt{6}のとき、k+2=2−6k+2 = 2 - \sqrt{6}
f(k+2)=f(2−6)=−1f(k+2) = f(2 - \sqrt{6}) = -1
f(−6)=−(−6−2)2+5=−(6+46+4)+5=−10−46+5=−5−46=−5−4∗2.45=−5−9.8≈−14.8f(-\sqrt{6}) = -(-\sqrt{6} - 2)^2 + 5 = -(6 + 4\sqrt{6} + 4) + 5 = -10 - 4\sqrt{6} + 5 = -5 - 4\sqrt{6} = -5 - 4 * 2.45 = -5 - 9.8 \approx -14.8
f(x)f(x) はx=2x=2で最大値5をとる上に凸の関数。区間の長さは2。
最小値が-1となるということは、2−6≤k≤2+62-\sqrt{6} \leq k \leq 2 + \sqrt{6} および、2−6≤k+2≤2+62-\sqrt{6} \leq k+2 \leq 2 + \sqrt{6}
k=2−6k = 2-\sqrt{6}のとき、f(x)f(x)の最小値は f(k)=−1f(k)=-1.
k+2=2−6k+2 = 2-\sqrt{6}すなわち、k=−6k = -\sqrt{6} のとき、f(x)f(x)の最小値は f(k+2)=−1f(k+2)=-1.
−6,2−6-\sqrt{6}, 2-\sqrt{6} が求める値となる。
しかし選択肢にはない。
k≤x≤k+2k \leq x \leq k+2
f(x)=−(x−2)2+5f(x) = -(x-2)^2 + 5
f(k)=−1f(k) = -1 なら、k=2±6k = 2 \pm \sqrt{6}
f(k+2)=−1f(k+2) = -1 なら、k+2=2±6k+2 = 2 \pm \sqrt{6}, k=±6k = \pm \sqrt{6}
最小値が-1となるのは、区間内に頂点が含まれないときである。
k=2−6k = 2 - \sqrt{6}, k+2=4−6k+2 = 4-\sqrt{6}
k=−6k = - \sqrt{6}, k+2=2−6k+2 = 2 - \sqrt{6}
小さい順に、2−62 - \sqrt{6} と−6-\sqrt{6}だが、選択肢にない
k≤x≤k+2k \leq x \leq k+2
f(x)=−(x−2)2+5f(x) = -(x-2)^2 + 5
f(k)=−1⇒−(k−2)2+5=−1⇒(k−2)2=6⇒k=2±6f(k) = -1 \Rightarrow -(k-2)^2 + 5 = -1 \Rightarrow (k-2)^2 = 6 \Rightarrow k = 2 \pm \sqrt{6}
f(k+2)=−1⇒−(k+2−2)2+5=−1⇒k2=6⇒k=±6f(k+2) = -1 \Rightarrow -(k+2-2)^2 + 5 = -1 \Rightarrow k^2 = 6 \Rightarrow k = \pm \sqrt{6}
k=2−6k = 2 - \sqrt{6} なら、k≈−0.449k \approx -0.449
k=−6k = - \sqrt{6} なら、k≈−2.449k \approx -2.449
解答 11: イ 2−62-\sqrt{6}
解答 12: ア −2+6-2 + \sqrt{6}

3. 最終的な答え

7: エ. 2
8: イ. 6
9: ア. -5
10: ウ. 2
11: イ. 2−62 - \sqrt{6}
12: ア. −2+6-2 + \sqrt{6}

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