与えられた等式 $x^3+ax-1=(x^2-bx)(x+2)+6x+c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3+ax-1=(x^2-bx)(x+2)+6x+c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開して整理する。

$(x^2-bx)(x+2)+6x+c = x^3+2x^2-bx^2-2bx+6x+c = x^3+(2-b)x^2+(6-2b)x+c$

与式は

$x^3+ax-1 = x^3+(2-b)x^2+(6-2b)x+c$

となる。

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、両辺の同じ次数の項の係数が等しくなければならない。したがって、

$x^2$ の係数について $0=2-b$

$x$ の係数について $a=6-2b$

定数項について $-1=c$

となる。

$0=2-b$ より、 $b=2$

$a=6-2b$ に $b=2$ を代入すると、$a=6-2(2)=6-4=2$

$-1=c$ より、$c=-1$

3. 最終的な答え

$a=2$, $b=2$, $c=-1$