与えられた2点 $x_0$ と $x_1$ を通る直線のパラメータ表示と定義方程式を求めます。問題は(1)と(2)の2つに分かれています。 (1) $x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, x_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix}$ (2) $x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, x_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2点 $x_0$ と $x_1$ を通る直線のパラメータ表示と定義方程式を求めます。問題は(1)と(2)の2つに分かれています。

(1) $x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, x_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix}$

(2) $x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, x_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

直線上の任意の点 $x$ は、パラメータ $t$ を用いて、以下のように表すことができます。

$x = x_0 + t(x_1 - x_0)$

(1)の場合

$x_1 - x_0 = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix}$

よって、パラメータ表示は

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3t \\ 2 - 7t \\ 3 + 3t \end{pmatrix}$

定義方程式を求めるために、 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ とすると、

$x_1 = 1 + 3t$

$x_2 = 2 - 7t$

$x_3 = 3 + 3t$

これらの式から $t$ を消去します。

$t = \frac{x_1 - 1}{3}$

$x_2 = 2 - 7(\frac{x_1 - 1}{3}) = 2 - \frac{7}{3}x_1 + \frac{7}{3}$

$3x_2 = 6 - 7x_1 + 7$

$7x_1 + 3x_2 = 13$

$t = \frac{x_3 - 3}{3}$

$x_1 = 1 + 3(\frac{x_3 - 3}{3}) = 1 + x_3 - 3$

$x_1 - x_3 = -2$

$x_1 - x_3 + 2 = 0$

したがって、定義方程式は以下のようになります。

$7x_1 + 3x_2 = 13$

$x_1 - x_3 = -2$

(2)の場合

$x_1 - x_0 = \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、パラメータ表示は

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2t \\ -3 - 6t \\ 2 \end{pmatrix}$

定義方程式を求めるために、 $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ とすると、

$x_1 = 1 + 2t$

$x_2 = -3 - 6t$

$x_3 = 2$

$t = \frac{x_1 - 1}{2}$

$x_2 = -3 - 6(\frac{x_1 - 1}{2}) = -3 - 3x_1 + 3$

$x_2 = -3x_1$

$x_3 = 2$

したがって、定義方程式は以下のようになります。

$x_2 + 3x_1 = 0$

$x_3 = 2$

3. 最終的な答え

(1) パラメータ表示：$x = \begin{pmatrix} 1 + 3t \\ 2 - 7t \\ 3 + 3t \end{pmatrix}$

定義方程式：$7x_1 + 3x_2 = 13$, $x_1 - x_3 = -2$

(2) パラメータ表示：$x = \begin{pmatrix} 1 + 2t \\ -3 - 6t \\ 2 \end{pmatrix}$

定義方程式：$x_2 + 3x_1 = 0$, $x_3 = 2$