原点Oを通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ に平行な直線のベクトル方程式を求め、さらにその直線方程式を標準形で表す。

1. 問題の内容

原点Oを通り、ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ に平行な直線のベクトル方程式を求め、さらにその直線方程式を標準形で表す。

2. 解き方の手順

まず、直線のベクトル方程式を求める。直線は原点Oを通るので、位置ベクトルは $\vec{0}$ となる。方向ベクトルは与えられたベクトル $\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ である。よって、直線上の任意の点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ は、パラメータ $t$ を用いて次のように表される。

$\vec{p} = \vec{0} + t\vec{d} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

これを成分で表すと、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

となる。

したがって、

$x = t$, $y = 2t$, $z = -2t$

となる。

次に、直線方程式を標準形で表す。上記の関係から $t$ を消去する。

$x = t$ より、 $y = 2x$ かつ $z = -2x$

したがって、直線の方程式は

$\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-2}$

3. 最終的な答え

ベクトル方程式: $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

直線方程式（標準形）: $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-2}$