関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に点A, Bがある。点Aのx座標は-3であり、点Bは点Aとy軸に関して対称である。y軸上に点Cを、四角形OBCAがひし形となるようにとる。線分AC上に点Dをとる。$\triangle ODA$ と四角形OBCAの面積比が1:4となるとき、点Dの座標を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に点A, Bがある。点Aのx座標は-3であり、点Bは点Aとy軸に関して対称である。y軸上に点Cを、四角形OBCAがひし形となるようにとる。線分AC上に点Dをとる。$\triangle ODA$ と四角形OBCAの面積比が1:4となるとき、点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

* 点Aの座標は、x座標が-3なので、$y = \frac{1}{2}(-3)^2 = \frac{9}{2}$。したがって、点Aの座標は$\left(-3, \frac{9}{2}\right)$。

* 点Bは点Aとy軸について対称なので、点Bの座標は$\left(3, \frac{9}{2}\right)$。

* 四角形OBCAがひし形なので、OA = CA。したがって、点Cの座標は(0,9)。

* 直線ACの方程式を求める。傾きは$\frac{9 - \frac{9}{2}}{0 - (-3)} = \frac{\frac{9}{2}}{3} = \frac{3}{2}$。切片は9なので、直線ACの方程式は $y = \frac{3}{2}x + 9$。

* 四角形OBCAはひし形なので、その面積は$\triangle OCA$ の2倍である。

* $\triangle ODA$ と四角形OBCAの面積比が1:4なので、$\triangle ODA : \triangle OCD : \triangle OCA = 1:1:2$ 。

* $\triangle OCD : \triangle OCA = 1:2$ であり、$\triangle OCD$ と $\triangle OCA$ は底辺OCを共有しているので、$\triangle OCD$ の高さ (点Dのx座標の絶対値) と $\triangle OCA$ の高さ (点Aのx座標の絶対値) の比は1:2になる。

* したがって、点Dのx座標は $-3 \times \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$。

* 点Dは直線 $y = \frac{3}{2}x + 9$ 上にあるので、点Dのy座標は $y = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{3}{2}\right) + 9 = -\frac{9}{4} + 9 = \frac{-9 + 36}{4} = \frac{27}{4}$。

3. 最終的な答え

点Dの座標は $\left(-\frac{3}{2}, \frac{27}{4}\right)$。