2つの直線 $r = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $r = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の交点を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $r = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $r = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ の交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの直線の式が共通の点を持つと仮定します。つまり、ある $t$ と $s$ が存在して、

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

この式は、以下の連立方程式に対応します。

$1 + 2t = 3$

$2 - t = 0 + s$

$3 + 0t = 3$

最初の式から、$2t = 2$ なので $t = 1$ が得られます。

3番目の式から、$3 = 3$ であり、$t$ または $s$ に関する情報はありません。

$t=1$ を2番目の式に代入すると、$2 - 1 = s$ なので $s = 1$ が得られます。

$t=1$ を最初の直線の式に代入すると、交点の座標は

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 2-1 \\ 3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$s=1$ を2番目の直線の式に代入すると、交点の座標は

$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+0 \\ 0+1 \\ 3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

両方の直線で同じ座標が得られたので、交点が存在し、それは $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

交点の座標は $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ です。