以下の問題を解きます。 (1) ベクトル $\vec{a} = (-1, 1)$、$\vec{b} = (3, 6)$ のとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $|\vec{a}|$ を求めます。 (2) $|\vec{a}| = 2$、 $|\vec{b}| = 1$、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めます（$0 \le \theta \le \pi$）。 (3) 点 $(4, 5)$ を通り、$\vec{u} = (3, -1)$ を方向ベクトルとする直線の媒介変数表示を求めます。 (4) 中心が $(1, -2, 5)$ で、$xz$ 平面に接する球面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

以下の問題を解きます。

(1) ベクトル $\vec{a} = (-1, 1)$、$\vec{b} = (3, 6)$ のとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と $|\vec{a}|$ を求めます。

(2) $|\vec{a}| = 2$、 $|\vec{b}| = 1$、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めます（$0 \le \theta \le \pi$）。

(3) 点 $(4, 5)$ を通り、$\vec{u} = (3, -1)$ を方向ベクトルとする直線の媒介変数表示を求めます。

(4) 中心が $(1, -2, 5)$ で、$xz$ 平面に接する球面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(3) + (1)(6) = -3 + 6 = 3$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

(2)

$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直なので、$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$。

$2|\vec{a}|^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$

$2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ を代入すると、

$2(2^2) - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5(1^2) = 0$

$8 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5 = 0$

$3 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\theta}$ より、

$1 = (2)(1) \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

(3)

点 $(4, 5)$ を通り、$\vec{u} = (3, -1)$ を方向ベクトルとする直線の媒介変数表示は、

$\begin{cases} x = 4 + 3t \\ y = 5 - t \end{cases}$

(4)

中心が $(1, -2, 5)$ で、$xz$ 平面に接する球面の方程式は、

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = r^2$

$xz$ 平面に接するので、半径 $r$ は中心の $y$ 座標の絶対値 $|-2| = 2$ となる。

したがって、

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = 2^2$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$、 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$

(3) $\begin{cases} x = 4 + 3t \\ y = 5 - t \end{cases}$

(4) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = 4$