ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ である。また、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直である。このとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ である。また、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直である。このとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めよ。

2. 解き方の手順

二つのベクトルが垂直であるとき、それらの内積は0になる。したがって、

$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$$

内積を展開すると、

$$2\vec{a} \cdot \vec{a} - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 5\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$$

内積の性質 $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ と $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ を使うと、

$$2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$$

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ を代入すると、

$$2(2^2) - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5(1^2) = 0$$

$$8 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5 = 0$$

$$3 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$$

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ を使うと、

$$|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} = 1$$

$$2 \cdot 1 \cdot \cos{\theta} = 1$$

$$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$$

$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で $\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、

$$\theta = \frac{\pi}{3}$$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$