$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ とする。ベクトル $\vec{a} + \vec{b}$ とベクトル $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ とする。ベクトル $\vec{a} + \vec{b}$ とベクトル $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a} + \vec{b}$ とベクトル $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるから、これらの内積は 0 である。

よって、

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$

内積を展開すると、

$2\vec{a} \cdot \vec{a} - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 5\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ および $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ であるから、

$2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}| = 2$ および $|\vec{b}| = 1$ を代入すると、

$2(2^2) - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5(1^2) = 0$

$8 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5 = 0$

$3 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ であるから、

$1 = 2 \cdot 1 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ であるから、

$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$